5) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C?

a) 30%     b) 28%     c) 25%     d) 27%     e) 20%

Resolução:

Para resolver esse problema, você pode usar o fato de que a intersecção entre os 3 conjuntos será mínima quando for mínimo também o número de elementos que pertencem a apenas um conjunto.

Para ficar mais fácil, ao invés de trabalhar com porcentagens, você pode trabalhar com números, fazendo que o total de pessoas era 100. Assim, como 15 pessoas não consomem nenhum produto, as outras 85 representam a união de todos os conjuntos. Veja a figura para facilitar a resolução.

produtos A, B e C

Veja que coloquei no desenho os 3 conjuntos e nas regiões onde não há intersecção, coloquei zero elementos, que é o mínimo que poderíamos ter. Nesse caso a resposta já deu certo assim, mas poderia ser que precisássemos colocar uma pessoa em algum conjunto, ou em 2. 

Sendo assim, como sabemos que:

A = 68 pessoas

B = 56 pessoas

C = 66 pessoas

A U B U C = 85 pessoas

Podemos escrever em função das variáveis que coloquei na figura:

A = x + y + i = 68

B = x + z + i = 56

C = y + z + i = 66

A U B U C = x + y + z + i = 85

Aí você pode resolver esse sistema de 4 equações e 4 incógnitas. Faça A + B + C – 2.(A U B U C).

A + B + C:

A = x + y + i = 68

B = x + z + i = 56   +

C = y + z + i = 66

———————

2x + 2y + 2z + 3i = 190 = A + B + C

2.(A U B U C):

2.(x + y + z + i) = 2.85

2x + 2y + 2z + 2i = 170

= A + B + C – 2.(A U B U C)

 2x + 2y + 2z + 3i = 190

-2x – 2y – 2z – 2i = -170

——————————–

                           i = 20

Você também poderia resolver fazendo a última equação menos uma das outras 3, que você ia descobrir x, y e z e depois acharia o valor de i no final. Assim já achamos o i direto.

Portanto, nesse caso a percentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é de 20%.

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