2) Na função exponencial y = 2^(x²-4x) encontre os valores de x para os quais 1 < y < 32

Resolução:

Dado que y = 2x² – 4x, se queremos 1 < y < 32, na verdade queremos:

1 < y < 32

1 < 2x² – 4x < 32

Então podemos dividir o problema em duas partes:

1 < 2x² – 4x  e  2x² – 4x < 32

Então vamos resolver uma de cada vez e juntar as duas:

1 < 2x² – 4x

20 < 2x² – 4x, igualando os expoentes,

0 < x2 – 4x

x2 – 4x > 0

x.(x – 4) > 0

O gráfico da função x2 – 4x é uma parábola com concavidade para cima, então será maior que zero para valores menor que a menor raiz e para valores maiores que a maior raiz. As raízes são 0 e 4, então:

x < 0 ou x < 4

Agora a segunda parte:

2x² – 4x < 32

2x² – 4x < 25, igualando os expoentes,

x2 – 4x < 5

x2 – 4x – 5 < 0

(x – 5).(x + 1) < 0

O gráfico da função x2 – 4x – 5 também é uma parábola com concavidade para cima, então será menor que zero para valores entre as duas raízes. As raízes são -1 e 5, então:

-1 < x < 5

Agora precisamos juntar as duas respostas. Para isso podemos fazer um esquema para cada resposta e juntar as duas. Onde tem sinais de + é onde x é válido. A resposta será apenas os intervalos onde x é válido para as duas inequações:

+++++++(0)—(4)+++++++

—(-1)++++++++++++(5)—

_______________________

—(-1)+++(0)—(4)+++(5)—

Resposta: -1 < x < 0 ou 4 < x < 5

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