Resolução:
Dado que y = 2x² – 4x, se queremos 1 < y < 32, na verdade queremos:
1 < y < 32
1 < 2x² – 4x < 32
Então podemos dividir o problema em duas partes:
1 < 2x² – 4x e 2x² – 4x < 32
Então vamos resolver uma de cada vez e juntar as duas:
1 < 2x² – 4x
20 < 2x² – 4x, igualando os expoentes,
0 < x2 – 4x
x2 – 4x > 0
x.(x – 4) > 0
O gráfico da função x2 – 4x é uma parábola com concavidade para cima, então será maior que zero para valores menor que a menor raiz e para valores maiores que a maior raiz. As raízes são 0 e 4, então:
x < 0 ou x < 4
Agora a segunda parte:
2x² – 4x < 32
2x² – 4x < 25, igualando os expoentes,
x2 – 4x < 5
x2 – 4x – 5 < 0
(x – 5).(x + 1) < 0
O gráfico da função x2 – 4x – 5 também é uma parábola com concavidade para cima, então será menor que zero para valores entre as duas raízes. As raízes são -1 e 5, então:
-1 < x < 5
Agora precisamos juntar as duas respostas. Para isso podemos fazer um esquema para cada resposta e juntar as duas. Onde tem sinais de + é onde x é válido. A resposta será apenas os intervalos onde x é válido para as duas inequações:
+++++++(0)—(4)+++++++
—(-1)++++++++++++(5)—
_______________________
—(-1)+++(0)—(4)+++(5)—
Resposta: -1 < x < 0 ou 4 < x < 5