Resolução:
De acordo com a figura acima, a circunferência de centro O tem raio R, a circunferência de centro o (minúsculo) tem raio r e a circunferência tangente às outras duas e à reta AB tem centro X e raio x. O ponto D é um dos pontos de intersecção entre as duas circunferências de centros O e o. Além disso C0 // AB (parelalelos).
Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e Co são congruentes. Para calcularmos Co precisamos da medida de Oo, que podemos achar usando a lei dos cossenos no triângulo ODo:
Oo2 = OD2 + Do2 – 2.OD.Do.(cos 120°)
Oo2 = R2 + r2 – 2.R.r.(-1/2)
Oo2 = R2 + r2 + Rr
Podemos agora calcular o tamanho de Co através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OCo:
OC2 + Co2 = Oo2
(R – r)2 + Co2 = R2 + r2 + Rr
Co = raiz(3Rr)
Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e XN pelo teorema de Pitágoras nos triângulos OMX e oNX respectivamente:
– No OMX
OM2 + MX2 = OX2
(R – x)2 + MX2 = (R + x)2
MX = 2.raiz(Rx)
– No oNX
oN2 + XN2 = oX2
(r – x)2 + XN2 = (r + x)2
XN = 2.raiz(rx)
E agora como MX + XN = MN:
MN = Co
MX + XN = Do
2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = raiz(3Rr)
2.raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(3Rr)
raiz(x) = raiz(3Rr)/{2.[raiz(R) + raiz(r)]}
x = 3Rr/{4.[R + 2.raiz(Rr) + r]}