3) Determine m tal que 5.C(m+1, 3) = 2.C(m+2, 2), onde C(n, p) é o número de combinações de n elementos tomados p a p.

Resolução:

5.C(m+1, 3) = 2.C(m+2, 2)
5.(m + 1)!/3!.(m + 1 – 3)! = 2.(m + 2)!/2!.(m + 2 – 2)!
5.(m + 1)!/3!.(m – 2)! = 2.(m + 2)!/2!.m!
5.(m + 1)!/3!.(m – 2)! = (m + 2)!/m!
5.(m + 1)!/3!.(m – 2)! = (m + 2).(m + 1)!/m!
 
divide os dois membros por (m + 1)!:
5/3!.(m – 2)! = (m + 2)/m!
5/3!.(m – 2)! = (m + 2)/m.(m – 1).(m – 2)!
 
multiplica os dois membros por (m – 2)!:
5/3! = (m + 2)/m.(m – 1)
5/6 = (m + 2)/m.(m – 1)
5.m.(m – 1) = 6.(m + 2)
5m² – 5m = 6m + 12
5m² – 11m – 12 = 0
 
resolvendo a equação do segundo grau:
(5m + 4).(m – 3) = 0
m = -4/5 ou m = 3
 
Como m tem que ser um número natural:
m = 3

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