Resolução:
Se o perímetro de um losango é 2p, como ele tem quatro lados iguais, cada lado podemos dizer que mede p/2. Chamando de s a soma das diagonais D e d, podemos escrever:
D + d = s
Como queremos achar a área do losango que é D.d/2, podemos elevar essa equação ao quadrado pois aparecerá o produto de D por d:
D + d = s
(D + d)2 = s2
D2 + 2Dd + d2 = s2
2Dd = s2 – (D2 + d2), divide tudo por 4,
Dd/2 = [s2 – (D2 + d2)]/4
A = [s2 – (D2 + d2)]/4
Mas ainda podemos melhorar a resposta se fizermos o teorema de Pitágoras no triângulo onde um lado é a hipotenusa e as metades das diagonais os catetos. Como o lado mede p/2 e metade das diagonais são D/2 e d/2:
(p/2)2 = (D/2)2 + (d/2)2
p2/4 = D2/4 + d2/4, multiplica tudo por 4,
p2 = D2 + d2
E podemos colocar esse resultado na nossa expressão da área, substituindo D2 + d2 por p2:
A = [s2 – (D2 + d2)]/4
A = (s2 – p2)/4