2) Demonstre que, se A, B, C são ângulos internos de um triângulo não retângulo, vale a relação: 1/(tg A).(tg B) + 1/(tg B).(tg C) + 1/(tg C).(tg A) = 1

com A, B, C diferente de Pi/2.

Resolução:

Vamos usar a fórmula da tangente da diferença de arcos para deduzir o seguinte:
A + B + C = 180°
A = 180° – (B + C)
tg A = tg[180° – (B + C)]
tg A = [tg 180° – tg(B + C)]/[1 + (tg 180°) . tg (B + C)]
tg A = [0 – tg(B + C)]/[1 + 0 . tg (B + C)]
tg A = -tg(B + C)/1
tg A = -tg(B + C)

E sabemos que:
tg(B + C) = (tg B + tg C)/[(1 – (tg B).(tg C)]
-tg(B + C) = (tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) – 1]

Então colocando isso no primeiro membro da equação que temos:
= primeiro membro
= 1/(tg A).(tg B) + 1/(tg B).(tg C) + 1/(tg C).(tg A)
= 1/{[-tg (B + C)].(tg B)} + 1/(tg B).(tg C) + 1/{(tg C).[-tg (B + C)]}
= 1/{(tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) – 1]}.(tg B) + 1/(tg B).(tg C) +
+ 1/(tg C).{(tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) – 1]}
= 1/{[tg² B + (tg C).(tg B)]/[(tg B).(tg C) – 1]} + 1/(tg B).(tg C) +
+ 1/{[(tg C).(tg B) + tg² C]/[(tg B).(tg C) – 1]}
= [(tg B).(tg C) – 1]/[tg² B + (tg C).(tg B)] + 1/(tg B).(tg C) +
+ [(tg B).(tg C) – 1]/[(tg C).(tg B) + tg² C]
= (tg C).[(tg B).(tg C) – 1]/[(tg² B).(tg C) + (tg² C).(tg B)] + (tg B + tg C)/[(tg² B).(tg C) +
+ (tg² C).(tg B)] + (tg B).[(tg B).(tg C) – 1]/[(tg² B).(tg C) + (tg² C).(tg B)]
= [(tg² C).(tg B) – tg C + tg B + tg C + (tg² B).(tg C) – tg B]/[(tg² B).(tg C) + (tg² C).(tg B)]
= [(tg² C).(tg B) + (tg² B).(tg C)]/[(tg² B).(tg C) + (tg² C).(tg B)]
= 1
= 2º membro