4) Considere um cubo cuja aresta tem comprimento igual a 1 cm. Sejam A, B, C, D os centros de suas faces laterias e E o centro de sua base, determine o volume da pirâmide de vértice E, cuja base é o quadrilátero ABCD.

Obs: Considere que o centro de uma face é o ponto de intersecção determinado pelas diagonais dessa face.

Resolução:

Como o centro das faces laterais são os pontos de encontro das diagonais das faces, e cada face é um quadrado, esse centro da face está exatamente na metade da altura da face, pois as diagonais do quadrado se encontram no seu ponto médio. Veja a figura para facilitar.

Na figura eu marquei dois dos centros das faces, que são os pontos A e C. Além disso marquei o ponto B, que tem a mesma altura de A e C e está na aresta entre as duas faces.

Então, você pode calcular o lado AC da base quadrada da pirâmide:

AC² = AB² + BC²

AC² = (1/2)² + (1/2)²

AC² = (1/4) + (1/4)

AC² = 1/2

AC = raiz(2)/2

A área da base da pirâmide é a área desse quadarado de lado raiz(2)/2, que é:

área da base = [raiz(2)/2]²

área da base = 2/4

área da base = 1/2

E a altura da pirâmide você sabe que é 1/2, que está representada pelo segmento CD na figura. Então precisamos achar o volume da pirâmide e para isso usaremos a fórmula do volume da pirâmide que é:

V = área da base x altura / 3

V = (1/2) x (1/2) / 3

V = (1/4) / 3

V = 1/12 cm³