4) ABCDEFGH é um octógono regular, inscrito num círculo de raio 5m; A’ , C’ , E’ e G’ são os pontos simétricos dos vértices A , C , E e G em relação às diagonais BH, BD, DF e FH. Calcule a área do octógono côncavo A’BC’DE’FG’H.

Resolução:

octógono côncavo

Temos o octógono ABCDEFGH inscrito na circunferência de raio 5. E os pontos simétricos A´, C´, E´, e G´ em relação às diagonais BH, BD, DF e FH.

Para calcular a área que queremos podemos calcular a área do quadrado BDFH e dele tirar 4 vezes a área de um triângulo como o A´BH. O que sobra dentro do quadrado, tirando esses 4 triângulos (A´BH, BC´D, DE´F, FG´H) todos iguais, é o octógono pedido.

O lado do quadrado podemos ver que vale 5.raiz(2), porque a diagonal do quadrado é o diâmetro do círculo circunscrito, que vale 10.

Assim, a área do quadrado será:

quadrado = 50m2

Para calcularmos a área do triângulo A´BH, vou calcular a do ABH que são iguais. Para isso precisamos saber o ângulo interno de um octógono, que podemos tirar da fórmula para o ângulo interno de um polígono regular de n lados:

ai = (n – 2).180/n

Fazendo n = 8:

ai = 135°

Então podemos usar a lei dos cossenos no triângulo ABH chamando AB = AH = L, o lado do octógono. Como BH é o lado do quadrado = 5.raiz(2):

BH2 = AB2 + AH2 – 2.AB.AH.(cos 135°)

50 = 2L2 + L2.raiz(2)

L2 = 25.[2 – raiz(2)]

Não vou tirar a raiz de L2 para achar L, porque para sabermos a área precisaremos de L2 mesmo. Usando a seguinte fórmula da área:

área ABH = AB.AH.(sen 135°)/2

área ABH = [L2.raiz(2)/2]/2

área ABH = 25.[2 – raiz(2)].raiz(2)/4

E agora podemos achar a área do octógono côncavo pedido:

oct = quadrado – 4.ABH

oct = 50 – 4.25.[2 – raiz(2)].raiz(2)/4

oct = 50 – 25.[2 – raiz(2)].raiz(2)

oct = 50 – 50.raiz(2) + 50

oct = 100 – 50.raiz(2)

oct =~ 29,29 m2

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