1) ABC e DEF são triângulos equiláteros inscritos em circunferências concêntricas C’ e C” : P e Q são tomados respectivamente sobre as circunferências C’ e C” . Demonstrar a relação:

(QA)² + (QB)² + (QC)² = (PD)² + (PE)² + (PF)²

Resolução:

A única solução que consegui (e não fui eu quem resolveu) é bem complicada. Envolve conceitos de números complexos. É bom lembrar que o número “e” é o número neperiano, base dos logaritmos naturais.

Sejam R₁ e R₂ os raios de C’ e C”, respectivamente.

Teremos:

A = R₁

B = R₁.e^i.2pi/3

C = R₁.e^-i.2pi/3

D = R₂.e^ia

E = R₂.e^{i.(a + 2pi/3)}

F = R₂.e^{i.(a – 2pi/3)}

P = R1.e^ix

Q = R₂.e^iy

onde a, x e y são números reais arbitrários.

Vamos, agora, usar os seguintes dois lemas:

1) Sejam os números complexos R₁.e^iu e R₂.e^iv.

Então:

|R₁.e^iu – R₂.e^iv|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(u – v)

Demonstração:

Expandir o lado esquerdo e usar que:

cos(u – v) = (cos u).(cos v) + (sen u).(sen v)

2) Para todo x real:

cos x + cos (x – 2pi/3) + cos (x + 2pi/3) = 0

Demonstração:

Sabemos que 1 + e^i.2pi/3 + e^-i.2pi/3 = 0

(soma das 3 raízes cúbicas da unidade)

Multiplicando por e^ix, teremos:

e^ix + e^{i.(x + 2pi/3)} + e^{i.(x – 2pi/3)} = 0

Tomando a parte real, obtemos o resultado.

Usando o Lema 1, teremos:

|Q – A|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.(cos y)

|Q – B|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(y – 2pi/3)

|Q – C|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(y + 2pi/3)

Somando estas 3 equações e usando o Lema 2 nos termos em R₁.R₂, vem:

|Q – A|² + |Q – B|² + |Q – C|² = 3.(R₁² + R₂^²)

Analogamente, via Lema 1, teremos:

|P – D|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(x – a)

|P – E|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(x – a – 2pi/3)

|P – F|² = R₁² + R₂² – 2.R₁.R₂.cos(x – a + 2pi/3)

E, portanto:

|P – D|² + |P – E|² + |P – F|² = 3.(R₁² + R₂²)

Logo, vale a igualdade:

|Q – A|² + |Q – B|² + |Q – C|² = |P – D|² + |P – E|² + |P – F|²

Que é o mesmo que:

(QA)² + (QB)² + (QC)² = (PD)² + (PE)² + (PF)²