2) 6 esferas idênticas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas. Desta forma, determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas.

Resolução:

Primeiro é bom você tentar imaginar como elas estão exatamente posicionadas e como o cubo as tangencia. Imagine que você coloca 4 esferas sobre um plano, cada uma tangente a outras duas, de tal maneira que seus centros formem um quadrado. então você coloca uma quinta esfera sobre essas 4 e uma sexta esfera sob elas. Segue um desenhei que mostra, mais ou menos, isso visto de cima. Aproveitei pra já colocar como o cubo tem que ficar para tangenciar todas as esferas.

Agora pela figura você pode ver que a linha azul tem a medida da aresta do cubo. E podemos ver que a linha azul é a soma de um raio, a diagonal do quadrado (vermelho) formado pelos centros das quatro esferas e mais um raio de cada lado.

Como o quadrado formado pelos centros das esferas tem lado igual a dois raios, sua diagonal será:

d = 2.R.raiz(2)

Agora somando tudo temos a aresta do cubo:

= R + d + R

= R + 2.R.raiz(2) + R

= 2R.[1 + raiz(2)]