Trigonometria

Insano!

4) Demonstre que todo triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação sen 3A + sen 3B + sen 3C = 0 têm um ângulo de 60°. 

Resolução:

Lembre-se que não podemos usar o fato de um dos ângulos ser igual a 60°, temos que concluir isso a partir da equação dada e de que a soma dos três ângulos do triângulo é 180°.

Primeiro vou usar a fórmula de transformação da soma de dois senos em produto:
sen 3A + sen 3B + sen 3C = 0
2.{sen [(3A + 3B)/2]}.{cos [(3A - 3B)/2]} + sen 3C = 0

Agora como A + B + C = 180°, podemos multiplicar tudo por 3:
A + B + C = 180°
3A + 3B + 3C = 540°
3A + 3B = 540° - 3C, dividindo por 2,
(3A + 3B)/2 = 270° - 3C/2, tirando o seno,
sen [(3A + 3B)/2] = sen (270° - 3C/2)
sen [(3A + 3B)/2] = (sen 270°).(cos 3C/2) - (cos 270°).(sen 3C/2)
sen [(3A + 3B)/2] = (-1).(cos 3C/2) - (0).(sen 3C/2)
sen [(3A + 3B)/2] = -cos 3C/2

Colocando na equação:
2.{sen [(3A + 3B)/2]}.{cos [(3A - 3B)/2]} + sen 3C = 0
2.(-cos 3C/2).{cos [(3A - 3B)/2]} + sen 3C = 0
-2.(cos 3C/2).{cos [(3A - 3B)/2]} + sen 3C = 0

E também vamos usar o seno do arco duplo:
sen 3C = sen 2.(3C/2)
sen 3C = 2.(sen 3C/2).(cos 3C/2)

Colocando na equação:
-2.(cos 3C/2).{cos [(3A - 3B)/2]} + sen 3C = 0
-2.(cos 3C/2).{cos [(3A - 3B)/2]} + 2.(sen 3C/2).(cos 3C/2) = 0, simplificando por 2,
-(cos 3C/2).{cos [(3A - 3B)/2]} + (sen 3C/2).(cos 3C/2) = 0, colocando cos 3C/2 em evidência,
(cos 3C/2).{(sen 3C/2) - cos [(3A - 3B)/2]} = 0

E vamos usar agora que:
A + B + C = 180°
3A + 3B + 3C = 540°
3C = 540° - (3A + 3B), dividindo por 2,
3C/2 = 270° - (3A + 3B)/2, tirando o seno,
sen 3C/2 = sen [270° - (3A + 3B)/2]
sen 3C/2 = (sen 270°).[cos (3A + 3B)/2] - (cos 270°).[sen (3A + 3B)/2]
sen 3C/2 = (-1).[cos (3A + 3B)/2] - (0).[sen (3A + 3B)/2]
sen 3C/2 = -cos [(3A + 3B)/2]

E colocando na equação:
[cos (3C/2)].{(sen 3C/2) - cos [(3A - 3B)/2]} = 0
[cos (3C/2)].{-cos [(3A + 3B)/2] - cos [(3A - 3B)/2]} = 0, multiplica por -1,
[cos (3C/2)].{cos [(3A + 3B)/2] + cos [(3A - 3B)/2]} = 0
[cos (3C/2)].{cos [(3A/2) + (3B/2)] + cos [(3A/2) - (3B/2)]} = 0, usando as fórmulas de soma e diferença do cosseno,
[cos (3C/2)].{[cos (3A/2)].[cos (3B/2)] - [sen (3A/2)].[sen (3B/2)] + [cos (3A/2)].[cos (3B/2)] + [sen (3A/2)].[sen (3B/2)]} = 0
[cos (3C/2)].{[cos (3A/2)].[cos (3B/2)] + [cos (3A/2)].[cos (3B/2)]} = 0
[cos (3C/2)].{2.[cos (3A/2)].[cos (3B/2)]} = 0
2.[cos (3C/2)].[cos (3A/2)].[cos (3B/2)] = 0, divide por 2,
[cos (3C/2)].[cos (3A/2)].[cos (3B/2)] = 0

Daí podemos concluir que a partir da equação dada teremos obrigatoriamente que:
cos (3C/2) = 0, ou
cos (3A/2) = 0, ou
cos (3B/2) = 0

Mas se cos (3C/2) = 0, temos:
cos (3C/2) = 0
3C/2 = pi/2 ou 3C/2 = 3pi/2
3C = pi ou 3C = 3pi
C = pi/3 ou C = pi

Como C é um ângulo de um triângulo, ele não pode ser igual a pi, então a única alternativa é que:
C = pi/3

E se fizermos o mesmo com os outros ângulos concluímos que:
C = pi/3, ou
A = pi/3, ou
B = pi/3

Portanto, esse triângulo tem pelo menos um ângulo de 60°.