Trigonometria

Insano!

3) Provar que a identidade abaixo é válida para qualquer triângulo ABC:
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4.(sen A).(sen B).(sen C)
.

Resolução:

Sendo A, B e C ângulos de um triângulo qualquer, temos que A + B + C = 180°. Como para qualquer ângulo x, temos:
sen 2x = 2.(sen x).(cos x)

sen 2A + sen 2B + sen 2C = 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)

Sabemos também que sen x = sen (180° - x), então como (B + C) = 180° - A
sen A = sen (B + C)
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)

Então:
= 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)

E agora usaremos sen (x + y) = (sen x).(cos y) + (sen y).(cos x):
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
= 2.[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)].(cos A) + 2.[(sen A).(cos C) + (sen C).(cos A)].(cos B) + 2.[(sen A).(cos B) + (sen B).(cos A)].(cos C)
= 2.(sen B).(cos C).(cos A) + 2.(sen C).(cos B).(cos A) + 2.(sen A).(cos C).(cos B) + 2.(sen C).(cos A).(cos B) + 2.(sen A).(cos B).(cos C) + 2.(sen B).(cos A).(cos C)

Agrupando os termos iguais:
= 4.(sen B).(cos C).(cos A) + 4.(sen C).(cos B).(cos A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)

Colocando cos A em evidência nos dois primeiros termos:
= 4.(cos A).[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).[sen (B + C)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).(sen A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]

Mas também sabemos que cos x = -cos (180° - x). Assim temos:
cos A = -cos (B + C)

Então:
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]

E agora usamos que cos (x + y) = (cos x).(cos y) - (sen x).(sen y):
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).{-[(cos B).(cos C) - (sen B).(sen C)] + (cos C).(cos B)}
= 4.(sen A).[-(cos B).(cos C) + (sen B).(sen C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).(sen B).(sen C)