Trigonometria

Insano!

2) Demonstre que, se A, B, C são ângulos internos de um triângulo não retângulo, vale a relação:
1/(tg A).(tg B) + 1/(tg B).(tg C) + 1/(tg C).(tg A) = 1
com A, B, C diferente de Pi/2
.

Resolução:

Vamos usar a fórmula da tangente da diferença de arcos para deduzir o seguinte:
A + B + C = 180°
A = 180° - (B + C)
tg A = tg[180° - (B + C)]
tg A = [tg 180° - tg(B + C)]/[1 + (tg 180°) . tg (B + C)]
tg A = [0 - tg(B + C)]/[1 + 0 . tg (B + C)]
tg A = -tg(B + C)/1
tg A = -tg(B + C)

E sabemos que:
tg(B + C) = (tg B + tg C)/[(1 - (tg B).(tg C)]
-tg(B + C) = (tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) - 1]

Então colocando isso no primeiro membro da equação que temos:
= primeiro membro
= 1/(tg A).(tg B) + 1/(tg B).(tg C) + 1/(tg C).(tg A)
= 1/{[-tg (B + C)].(tg B)} + 1/(tg B).(tg C) + 1/{(tg C).[-tg (B + C)]}
= 1/{(tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) - 1]}.(tg B) + 1/(tg B).(tg C) +
+ 1/(tg C).{(tg B + tg C)/[(tg B).(tg C) - 1]}
= 1/{[tg2 B + (tg C).(tg B)]/[(tg B).(tg C) - 1]} + 1/(tg B).(tg C) +
+ 1/{[(tg C).(tg B) + tg2 C]/[(tg B).(tg C) - 1]}
= [(tg B).(tg C) - 1]/[tg2 B + (tg C).(tg B)] + 1/(tg B).(tg C) +
+ [(tg B).(tg C) - 1]/[(tg C).(tg B) + tg2 C]
= (tg C).[(tg B).(tg C) - 1]/[(tg2 B).(tg C) + (tg2 C).(tg B)] + (tg B + tg C)/[(tg2 B).(tg C) +
+ (tg2 C).(tg B)] + (tg B).[(tg B).(tg C) - 1]/[(tg2 B).(tg C) + (tg2 C).(tg B)]
= [(tg2 C).(tg B) - tg C + tg B + tg C + (tg2 B).(tg C) - tg B]/[(tg2 B).(tg C) + (tg2 C).(tg B)]
= [(tg2 C).(tg B) + (tg2 B).(tg C)]/[(tg2 B).(tg C) + (tg2 C).(tg B)]
= 1
= 2º membro