Trigonometria

Difícil 

3) Sendo:
sen x - sen y = 2.sen [(x - y)/2]. cos [(x + y)/2]

E lembrando que:
|sen z| <= |z|
|cos t| <= 1
|a.b| = |a|.|b|

Compare |sen x - sen y| e |x - y| com x e y números reais quaisquer.

Resolução:

Queremos comparar |sen x - sen y| com |x - y|, então vamos seguir as recomendações do problema e começar da fórmula:
sen x - sen y = 2.sen [(x - y)/2]. cos [(x + y)/2]

Colocando o módulo dos dois lados da igualdade:
sen x - sen y = 2.sen [(x - y)/2]. cos [(x + y)/2]
|sen x - sen y| = |2.sen [(x - y)/2]. cos [(x + y)/2]|

Da propriedade |a.b| = |a|.|b|, podemos ver que isso vale também para 3 números:
|a.b| = |a|.|b|, fazendo b = c.d,
|a.c.d| = |a|.|c.d|, e como |c.d| = |c|.|d|,
|a.c.d| = |a|.|c|.|d|

Então podemos desmembrar o produto do 2º membro:
|sen x - sen y| = |2.sen [(x - y)/2]. cos [(x + y)/2]|
|sen x - sen y| = |2|.|sen [(x - y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|
|sen x - sen y| = 2.|sen [(x - y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|

Como |cos t| <= 1, esse produto ficará menor ou igual a:
|sen x - sen y| = 2.|sen [(x - y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|
|sen x - sen y| <= 2.|sen [(x - y)/2]|.1
|sen x - sen y| <= 2.|sen [(x - y)/2]|

Usando a outra propriedade, |sen z| <= |z|:
|sen x - sen y| <= 2.|sen [(x - y)/2]| <= 2.|(x - y)/2|
|sen x - sen y| <= 2.|(x - y)/2|

E podemos escrever (x - y)/2 assim: (x - y).(1/2),
|sen x - sen y| <= 2.|(x - y)/2|
|sen x - sen y| <= 2.|(x - y).(1/2)|

E podemos usar novamente |a.b| = |a|.|b|:
|sen x - sen y| <= 2.|(x - y).(1/2)|
|sen x - sen y| <= 2.|(x - y)|.|(1/2)|
|sen x - sen y| <= 2.|x - y|.(1/2)
|sen x - sen y| <= |x - y|