Porcentagem

Difícil 

5) 1 tonel contém 100 L de vinho. Retira-se certa quantidade de vinho completando o tonel com água. Retira-se desta mistura quantidade igual àquela da primeira vez e completa-se com água novamente. Resta no tonel apenas 64 L de vinho puro original. Quantos litros foram retirados de cada vez? 

Resolução:

Vamos começar com o que temos. No tonel há primeiro 100 L de vinho. Digamos que foram retirados "x" litros de vinho e depois completado com água (também x litros, pois foi o que tiramos). Então ficamos assim:

                          Vinho     Água

    Inicial =          100 L       0 L

Tirando x =   (100 - x) L     x L

 

Até aí tudo bem. Agora é que vem a complicação. Quando vamos tirar mais x litros desta mistura, estaremos tirando uma parte de água e outra parte de vinho. Para saber quanto de vinho estamos tirando, teremos que saber qual a porcentagem do que vamos tirar, em relação a todo o volume da mistura. Aí tiraremos essa porcentagem de vinho e essa porcentagem de água.

Por exemplo, como o tonel tem 100 L, se tirarmos 10 litros, estaremos tirando 10% do tonel. Supondo a mistura homogênea, estamos tirando 10% do total de água e 10% do total de vinho. Usando números. Digamos que temos 90 L de vinho e 10 L de água. Se tirarmos 10 L do tonel, tiraremos 9 L de vinho (10% de 90 L) e 1 L de água (10% de 10 L).

Como vamos tirar x litros e o tonel tem 100 L, tiraremos x% do total de litros de vinho. E de acordo com o enunciado, ainda haverá 64 L de vinho no tonel. Se tínhamos 100 - x litros de vinho e tiramos x% disso, tiramos:

= (100 - x) . x/100 litros

 

E como sabemos que o que sobrou foi 64 L, o que sobrou é o que tínhamos, menos o que tiramos:

100 - x - [(100 - x) . x/100] = 64

100 - x - (x - x²/100) = 64

100 - x - x + x²/100 = 64, tirando o mínimo e cancelando o denominador,

10000 - 100x - 100x + x² = 6400

x² - 200x + 10000 - 6400 = 0

x² - 200x + 3600 = 0, resolvendo a equação,

(x - 20) . (x - 180) = 0

x = 20 ou x = 180

 

Como "x" é a quantidade de litros que tiramos do tonel, que tinha 100 L, não podemos tirar mais do que 100 L. Então nossa única resposta será 20 L.