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4) Sabendo que a fórmula do número de elementos da união de dois conjuntos é n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), determine a fórmula da união de 3 conjuntos n(A U B U C). 

Resolução:

Muito interessante essa pergunta. Geralmente usamos as fórmulas, mas infelizmente as pessoas não estão muito interessadas em saber de onde vieram as fórmulas. A melhor coisa é você saber de onde veio a fórmula porque aí não tem como você esquecer. Se esquecer da fórmula você deduz novamente.

Para chegar nessa fórmula vamos fazer uma figura. Nela fiz três conjuntos A, B e C se intersectando mutuamente.

Veja que o total de elementos de A é igual à soma das seguintes regiões:

A = a + d + f + g

 

E da mesma forma os conjuntos B e C são a soma das seguintes regiões do desenho:

B = b + d + e + g

C = c + e + f + g

 

Então quando queremos saber a união dos 3 conjuntos temos que pegar a soma de todos os elementos de A com todos os elementos de B com todos os elementos de C. Mas se simplesmente somarmos todos os elementos de cada conjunto, estaremos pegando algumas regiões mais de uma vez. As regiões que são intersecção de apenas dois conjuntos (d, e, f) estaremos pegando duas vezes e a região da intersecção dos 3 conjuntos (g) estaremos somando 3 vezes. Então temos que subtrair algumas coisas.

Agora repare que os elementos da intersecção de cada dois conjuntos abrange duas regiões:

A ∩ B = d + g

A ∩ C = f + g

B ∩ C = e + g

 

Então quando procuramos n(A U B U C), se somarmos só n(A) + n(B) + n(C) estaremos somando duas vezes essas regiões de intersecção entre cada dois conjuntos, por isso na fórmula subtraímos cada uma delas:

- n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)

 

Mas ao subtrairmos cada uma delas, estamos subtraindo 3 vezes a região de intersecção entre os 3 conjuntos, que também tínhamos somado 3 vezes quando somamos o total de elementos de cada conjunto n(A) + n(B) + n(C), por isso na fórmula precisamos somar essa região de novo:

+ n(A ∩ B ∩ C)

 

Talvez você visualize melhor com as letras de cada região. Primeiro vou escrever cada parte da fórmula em função das letras de cada região:

n(A U B U C) = a + b + c + d + e + f + g

n(A) = a + d + f + g

n(B) = b + d + e + g

n(C) = c + e + f + g

n(A ∩ B) = d + g

n(A ∩ C) = f + g

n(B ∩ C) = e + g

n(A ∩ B ∩ C) = g

 

Agora colocando a fórmula toda:

= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

= (a+d+f+g) + (b+d+e+g) + (c+e+f+g) - (d+g) - (f+g) - (e+g) + (g)

= (a+b+2d+e+f+2g) + (c+e+f+g) - (d+g) - (f+g) - (e+g) + (g)

= (a+b+c+2d+2e+2f+3g) - (d+g) - (f+g) - (e+g) + (g)

= (a+b+c+d+2e+2f+2g) - (f+g) - (e+g) + (g)

= (a+b+c+d+2e+f+g) - (e+g) + (g)

= (a+b+c+d+e+f) + (g)

= (a+b+c+d+e+f+g)

= a + b + c + d + e + f + g

= n(A U B U C) 

Portanto a fórmula é:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Comentários   

+2 # Brendha 24-04-2015 00:30
Certo instituto de pesquisas entrevistou em um dia 1500 indivíduos perguntando sobre as rejeições e aprovações dos atuais partidos e que chamaremos de partido Abobrinha e partido Jiló. Foram verificados que 900 indivíduos rejeitavam o partido Abobrinha; 700 rejeitavam o partido Jiló e que 300 pessoas não rejeitavam nenhum partido. Com todas estas informações e o tamanho da população do Brasil achou – se necessário analisar quantas são as pessoas que recusam os dois partidos? qual seria a resposta?
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+1 # RafaelCinoto 01-05-2015 13:51
Citando Brendha:
Certo instituto de pesquisas entrevistou em um dia 1500 indivíduos perguntando sobre as rejeições e aprovações dos atuais partidos e que chamaremos de partido Abobrinha e partido Jiló. Foram verificados que 900 indivíduos rejeitavam o partido Abobrinha; 700 rejeitavam o partido Jiló e que 300 pessoas não rejeitavam nenhum partido. Com todas estas informações e o tamanho da população do Brasil achou – se necessário analisar quantas são as pessoas que recusam os dois partidos? qual seria a resposta?

Nesse caso são apenas dois conjuntos, os que rejeitam A e os que rejeitam J. No total tem 1500 pessoas sendo 300 não pertencendo a nenhum conjunto porque não rejeitam nenhum dos 2. Então somando os que rejeitam cada partido só podem ter 1200 (1500 - 300) pessoas. Mas se somar 900 + 700 = 1600 passou 400 do que deveria, então essas 400 rejeitam os dois partidos. Faça um diagrama que dá pra enxergar melhor.
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+2 # adriano 10-08-2015 20:40
1500-300=1200
1200= (700-x)+ (900-x)+ x
1200= 1600-x
X=1600-1200
x= 400 pessoas recusam os dois partidos
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-2 # Vinicius 16-02-2016 19:50
Sua resolução e explicação são excelentes! Curiosamente, não encontrei referência ao número de elementos de conjuntos em livros, apenas em material apostilado.
Obrigado pela explicação clara, direta e direta.
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0 # João Neto 24-02-2016 02:05
Uma pesquisa realizada com 100 pessoas com respeito a três programas de TV (X, Y e Z) revelou que: 50 pessoas gostam do programa X; 30 gostam do programa Y; 70 gostam do programa Z e 5 gostam dos três programas; 10 dos entrevistados não gostam de nenhum dos programas. Quantas pessoas gostam de, pelo menos, dois desses programas?
A) 40. B) 45. C) 50. D) 55. E) 60.
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+2 # João Neto 24-02-2016 02:07
Essa questão acima já passou pela mão de muita gente mas ninguém consegue dizer como achou o resultado.
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+1 # Guilherme Henrique 24-02-2016 13:36
100 entrevistados - 10 que não gostam =90
50x+30y+70z = 150 pois os 5 últimos gostam dos três.

Então temos 90 pessoas que que gostam possivelmente de 2 programas, mas o número de pessoas que gostam de cada programa é de 150 o que excede os 90. Sendo assim, com 60 a mais.E como já temos 5 pessoas que gostam dos três e entram na quantidade então 65 pessoas gostam de pelo menos 2 programas de TV. (pegadinha pois não tem alternativa).

Se eu estiver errado por favor me avisem!!!
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0 # João Neto 24-02-2016 15:10
O gabarito aponta que é 55. No entanto acredito que tenham outras respostas,
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-1 # Bianca 27-03-2016 01:19
Se no total são 100 e 10 não gostam de nenhum dos programas então temos:
100-10: 90
90-5 : 85 (lembrando que 5 é o numero de pessoas que gosta de todos os programas)
Fazemos então a soma da quantidade de pessoas que gostam de x,y,e z :
50+30+70: 140

entao 140-85(que é o numero de pessoas que assistem qualquer um dos programas)= 55

alternativa D
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0 # Tiago Marques Ribeir 29-03-2016 00:26
Bianca. há um erro na sua soma. X,y e z = 50+30+70 = 150 e não 140 com vc mencionou.

no link abaixo em 37:10 o professor leandro resolve uma questao parecida com essa porém tentei resolver e não deu certo.. rsrsrs da uma olhada as vezes vcs conseguem.
www.youtube.com/watch?v=4j5dy-s4Krk
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0 # Egon Oliveira 25-03-2017 12:45
Neste caso não se soma os 5, e sim subtraimos os 5 que gostam dos três. Pois a questão solicita as que gostam de "pelo menos" dois desses programas.
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0 # vanildo carlos huo 18-03-2017 18:26
Ai o resultado final e de 55 porque dos 100 que foram entrivistados tem 10 pessoas que fazem parte da entrevista mas nao gostam das televisoes,logo subtraimos e fica 90 de universe e desenhamos o diagram de acordo com os resultados dos elementos, e onde nao interceta colocamos o zero ai vai sair o resultado.
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0 # Tiago Marques Ribeir 29-03-2016 00:35
50X+30Y+70Z = 150 (X,Y,Z)
100-10= 90 pessoas
150-90-5=55 gostam de pelo menos (no mínimo 2 programas, quer dizer, que neste conjunto há pessoas que gostam até dos 3 programas)
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0 # Moisés Suzarte 30-03-2016 18:59
Bom dia
Essa questão tem um porém. Ele quer saber apenas o n de pessoas q tem apenas duas doenças, e, nesse caso, temos q subtrair a intercessão xyz e não somá-la. Assim o resultado é 60. Essa questão caiu num concurso q fiz recentemente e errei por isso.
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0 # Vanessa 01-05-2016 17:48
ME AJUDEEM !
determine o numero dos elementos:
a) (AUB),sabendo que n (A)=10 , n (B=5 e n (A∩B)=0
b) n (AUB) sabendo que n (A) = 15 n (B) = 15 e n (AUB)=3
c) n (A-B) , sabendo que n (A)=0
d) n (A-B) , sabendo que n (A∩CªB)=5
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0 # Lenice 14-08-2016 13:57
Dados do A { 0,1,2,3} B{1,2,3}C {0,2,4,5,7} e D{2,3,4,5,8}
Determine: D - (A U B U C} =
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0 # felipe 18-08-2016 22:54
D - (AUBUC)
{2,3,4,5,8} - {0,1,2,3,4,5,7}

{8}
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0 # felipe 18-08-2016 22:50
me ajudem determine os conjuntos x, y e z sabendo que x ∩ y = {2,4}, x ∩ z = {2,3}, x U y = {2,3,4,5}, x U z = {1,2,3,4}
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0 # Marcus Vinícius 29-09-2016 23:53
A resposta é:

X = {2,3,4}
Y = {2,4,5}
Z = {1,2,3}
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0 # Marcio Neves 13-11-2016 23:45
Se o Conjunto A = {1,2}
e o Conjunto B = {1,2}.
Logo B = 0 e A = 0.
Porque A - B = 0 ou B - A = 0; pois só conseguimos representar o Conjunto
A ∩ B = { 1,2 } através do diagrama de
Venn.






0 1
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0 # Cássio 18-11-2016 18:39
Em um grupo formado por 67 pessoas, verificou-se que 41 pessoas gostam de arroz, 29 gostam de
feijão, 33 gostam de carne, 19 gostam de arroz e de feijão, 9 gostam apenas de arroz e de carne, 12 gostam
de feijão e de carne e que 6 gostam de arroz, de feijão e de carne. O número de pessoas desse grupo, que
não gosta de nenhum desses três tipos de alimentos é igual a:
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0 # nigga 16-03-2017 12:55
Nego que não gosta de comer nada = 4
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0 # may 24-03-2017 04:41
Em uma lanchonete, 15 pessoas pediram pizza, 11 pediram coxinha, e 10 pediram sanduíche; 5 pessoas pediram sanduíche e coxinha e 3 delas pediram os três petiscos. Sabendo-se que a lanchonete foi visitada por 35 pessoas, quantas delas pediram pizza e sanduíche?
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