Análise Combinatória

Análise Combinatória

Fácil 

1) Considere A, B, C, D, E, F e G pontos num mesmo plano, tais que dentre esses pontos não existam três que sejam colineares. Quantos trângulos podem ser formados com vértices dados por esses pontos, de modo que não existam triângulos de lado AB, nem de lado BC? Resolução 

2) Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 alunos será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?

a) 30.240     b) 594     c) 462     d) 408     e) 372     Resolução

3) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? Resolução 

4) De quantas maneiras podemos ordenar 5 livros de Matemática, 3 livros de Química e 2 livros de Física, todos diferentes, de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos? Resolução 

5) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? Resolução 

6) De quantas formas podemos acomodar 3 pessoas em 5 cadeiras? Resolução 

7) Num plano existem 4 pontos, sendo que quaisquer 3 deles são não colineares. Pergunta-se:

   a) Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos? 

   b) Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos? Resolução 

8) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? Resolução 

9) Em uma sala há 6 lâmpadas com seis interruptores distintos. De quantos modos pode ser iluminada essa sala? Resolução  

10) Calcule a quantidade de número de naturais ímpares com 5 dígitos distintos? Resolução  

11) Calcule a quantidade de números com 10 dígitos? E se os dígitos forem distintos? Resolução  

12) Calcule a quantidade de números pares com 4 dígitos distintos? Resolução  

13) Calcule a quantidade de números ímpares com 4 dígitos distintos? Resolução  

14) De quantas maneiras podemos arrumar 9 pessoas em 3 quartos, cada quarto com 3 camas? Resolução  

15) Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar: 

   a) com 4 homens e 2 mulheres?

   b) contendo H mas não M?

   c) contendo M mas não H? 

   d) contendo H e M? 

   e) contendo somente H ou somente M?     Resolução

16) Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando os números de 1 a 6 sobre essas faces? Resolução  

17) Uma seleção de futebol, convocou 22 jogadores, sendo 2 goleiros e 20 jogadores divididos em: 4 zagueiros, 4 laterais, 8 Meio Campistas e 4 atacantes. Sabendo-se que joga SEMPRE: 1 goleiro, 2 laterais, 2 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes; com quantas formas diferentes, poderia-se armar um time? Resolução  

18) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Quantos são os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações? Resolução  

19) Um grande prêmio de fórmula 1, vai ser disputado por 24 pilotos, dos quais apenas 3 são brasileiros. Em quantos resultados possíveis dessa prova poderemos ter ao menos 1 piloto brasileiro figurando em uma das 3 primeiras colocações? Resolução 

Médio 

1) A diretoria de uma empresa compôe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as comissões de três membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não incluem, calcular o valor de n. Resolução 

2) Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE:

   a) começados por IND? 

   b) começados por IND e terminados em T? 

   c) que contenham as letras I e P sempre juntas? 

   d) que contenham as letras I e P sempre juntas nesta ordem? 

   e) que contenham as letras I e P sempre juntas e termine em TE? Resolução 

3) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila, sem que dois homens fiquem juntos? Resolução 

4) Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR:

   a) que começam com vogal? 

   b) que começam e terminam em vogal? 

   c) que tenham as vogais juntas? Resolução 

5) Calcule a quantidade de múltiplos de 3 de quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9? Resolução 

6) Calcule a quantidade de números de 4 algarismos distintos que são divisíveis por 5 e formados pelos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? Resolução 

7) Calcule a quantidade de números ímpares, compreendidos entre 300 e 4.000 e com todos os algarismos distintos, que podemos formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 7 e 9? Resolução  

8) De quantas maneiras um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas? Resolução 

9) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é igual a:

a) 1.365     b) 860     c) 240     d) 120     e) 35     Resolução

10) De quantas maneiras posso distribuir 20 balas entre 3 crianças, de modo que cada uma das crianças receba no mínimo 5 balas. Resolução 

11) De quantas maneiras é possível distribuir 30 bolas iguais entre 4 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 6 bolas? Resolução 

12) De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?
|__|__|__|
|__|__|__|   Resolução

13) Um teste é composto por 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. Qual o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas e obter, pelo menos, 80% de acertos? Resolução 

14) Numa classe de 10 estudantes um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos 10 são marido e mulher e só irão juntos? Resolução

Difícil 

1) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Qual a soma dos números assim formados? Resolução

2) Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA:

   a) que alternam consoantes e vogais? 

   b) que possuem as vogais juntas? Resolução 

3) Quantos são os anagramas da palavra SIDERAL:

   a) em que as vogais estão em ordem alfabética? 

   b) em que as consoantes estão em ordem alfabética? Resolução 

4) Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO em que não fiquem juntas duas vogais e duas consoantes? Resolução 

5) Dispondo de 6 fichas (2 vermelhas, 2 brancas, 2 azuis) para serem colocadas sobre 6 quadradas dispostos em 2 linhas e 3 colunas. De quantos modos isto pode ser feito se cada coluna deve ter duas fichas de cores diferentes. Resolução 

6) Com seis varetas se constrói uma peça como a da figura abaixo.

As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Se deseja pintar cada vareta de uma cor só de modo que em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes. As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a peça? Resolução 

7) Quantos são os anagramas da palavra ÁLGEBRA em que não possuem 2 vogais juntas? Resolução 

8) Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA em que as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas? Resolução 

9) Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos? Resolução 

10) Possuo três jarros idênticos e desejo ornamentá-los com 18 rosas, sendo 10 vermelhas e 8 amarelas. Desejo que um dos jarros tenha 7 rosas e os outros dois, no mínimo 5 rosas. Cada um deverá ter, pelo menos, duas rosas vermelhas e uma amarela. Quantos arranjos florais poderei fazer usando as 18 rosas?

a) 10     b) 11     c) 12     d) 13     e) 14     Resolução 

Insano! 

1) Encontrar o número de maneiras de ordenar as letras a, a, b, b, b, c, c, d, d de modo que duas letras iguais nunca fiquem juntas. Resolução

2) Qual o número de divisores positivos do número N = 915 + 5.914 + 10.913 + 10.912 + 5.91 + 1? Resolução 

3) Quantos zeros tem 1000! (mil fatorial)? Resolução 

Comentários   

+4 # Patricia 10-03-2015 20:43
De todos os triangulos determinados por esses 10 pontos distintos quantos tem como vertice o ponto h?
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-1 # RafaelCinoto 11-03-2015 00:55
Ficou meio incompleto esse enunciado. Se os 10 pontos foram todos não colineares 3 a 3, basta calcular de quantas maneiras pode escolher 2 dos 9 pontos que restaram = 36.
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-1 # alexander 24-03-2015 14:08
quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,
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-4 # RafaelCinoto 26-03-2015 19:40
Citando alexander:
quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,

6.5.4.3.2 = 720
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0 # Luiz Fernando 20-10-2015 21:14
Citando RafaelCinoto:
Citando alexander:
quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,

6.5.4.3.2 = 720


04. (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados com os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
Resp.: 300

pode me ajudar na resolução dessa questão??
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0 # RafaelCinoto 24-10-2015 16:15
Citando Luiz Fernando:
[quote name="RafaelCinoto"]
04. (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
Resp.: 300

pode me ajudar na resolução dessa questão??

PAra ter quatro algarismos, não pode começar com zero, então tem 5 opções para o primeiro algarismo. Os outros podem ser qualquer um, só não podem repetir o que já foi, então tem 5 opções para o segundo algarismo, 4 para o terceiro e 3 para o quarto:
5.5.4.3 = 300
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0 # Marcelo Mattos 24-10-2016 16:56
Para formar um número seja com quantos algarismos for, você não pode colocar o "0" na primeira posição (zero à esquerda), pois não tem valor. Para primeira posição vocÊ tem 5 possibilidades (1,2,3,4,
5), para segunda você também tem 5(os 6 números menos o que foi escolhido na primeira), para a terceira vc tem 4 (os 6 números menos os escolhidos na primeira e na segunda) e para a quarta você tem 3 possibilidades (os 6 números menos os escolhidos na primeira, na segunda e na terceira). Assim, 5 x 5 x 4 x 3 = 300.
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0 # welton 05-09-2016 03:19
6.5! = 720
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0 # larisa azevedo 20-04-2015 23:05
Numa sala há 10 mulheres e 8 homens. Deseja-se formar grupos de 5 pessoas, escolhidas entre as 18 pessoas da sala. Se cada grupo deve conter exatamente 3 mulheres,o número de grupos possíveis que podem ser formados é qual?
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0 # RafaelCinoto 23-04-2015 00:20
Citando larisa azevedo:
Numa sala há 10 mulheres e 8 homens. Deseja-se formar grupos de 5 pessoas, escolhidas entre as 18 pessoas da sala. Se cada grupo deve conter exatamente 3 mulheres,o número de grupos possíveis que podem ser formados é qual?

Precisa escolher 3 das 10 mulheres (combinação de 10, 3 a 3) e mais 2 dos 8 homens (combinação de 8, 2 a 2):
C10,3 . C 8,2 = 120 . 28 = 3360
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0 # carol 01-06-2015 21:45
quero formar equipes iguais com 23 alunos para jogar queima? Como distribuo as equipes de forma que sobra menos numero de equipes possivel
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-3 # RafaelCinoto 02-06-2015 00:26
Citando carol:
quero formar equipes iguais com 23 alunos para jogar queima? Como distribuo as equipes de forma que sobra menos numero de equipes possivel

Está estranho esse enunciado, parece que está faltando alguma coisa...
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0 # cleiton 04-06-2015 16:18
sejam 4 delegados , 6 agentes , 5 peritos . vao sse criar plantoes com 1 delegado , 3 agentes e 2 peritos . quantos plantoes podemos formar ?
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0 # RafaelCinoto 09-06-2015 19:37
Citando cleiton:
sejam 4 delegados , 6 agentes , 5 peritos . vao sse criar plantoes com 1 delegado , 3 agentes e 2 peritos . quantos plantoes podemos formar ?

Tem que escolher 1 delegado entre 4: C4,1
Tem que escolher 3 agentes entre 6: C6,3
Tem que escolher 2 peritos entre 5: C5,2
C4,1 . C6,3 . C5,2 = 4.20.10 = 800
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-3 # Saulo 11-06-2015 23:44
Tomam-se 10 pontos sobre uma circunferência.
a) Quantos segmentos podem ser construídos com extremidades em dois quaisquer desses pontos ?
b) Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nesses pontos ?
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-1 # RafaelCinoto 13-06-2015 02:13
Citando Saulo:
Tomam-se 10 pontos sobre uma circunferência.
a) Quantos segmentos podem ser construídos com extremidades em dois quaisquer desses pontos ?
b) Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nesses pontos ?

Como 3 pontos da circunferência nunca estão alinhados:
a) Combinação de 10 elementos tomados 2 a 2 (não importa a ordem) = 45
b) Combinação de 10 elementos tomados 3 a 3 (não importa a ordem) = 120
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0 # Elaine 20-07-2015 20:46
Considere todos os números de quatro algarismos distintos,formados com os dígitos 1,2,3,...,9. Quantos destes são ímpares e maiores que 3.000?
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+3 # RafaelCinoto 03-08-2015 23:51
Citando Elaine:
Considere todos os números de quatro algarismos distintos,formados com os dígitos 1,2,3,...,9. Quantos destes são ímpares e maiores que 3.000?

Tem 4 algarismos, o primeiro pode ser 3 ou maior (7 opções), se é ímpar, só pode acabar com ímpar (5 opções), mas como tem ímpar que pode ser o primeiro alagarismo e não pode ter repetição, deve separar em dois casos porque se começar com ímpar só tem 4 opções pro último algarismo:
caso comece com ímpar (3, 5, 7 ou 9):
4 . 7 . 6 . 4 = 672

caso comece com par (4, 6 ou 8):
3 . 7 . 6 . 5 = 630

Os do meio só não podem repetir os que já saíram, então tem 8 e 7 opçoes.

Somando tudo: 1302
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+1 # cristiano 26-08-2015 12:30
. Sejam os algarismos 1, 4, 6, 7, 8, 9 e 0. Quantos números distintos de 5 algarismos, sem
repetição de algarismos no mesmo número, podemos formar?
bom dia!podem dizer como resolver esta questão?fiz num concurso,e o resultado,parece q não bate,obrigado.
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-1 # RafaelCinoto 05-09-2015 21:59
Citando cristiano:
. Sejam os algarismos 1, 4, 6, 7, 8, 9 e 0. Quantos números distintos de 5 algarismos, sem
repetição de algarismos no mesmo número, podemos formar?
bom dia!podem dizer como resolver esta questão?fiz num concurso,e o resultado,parece q não bate,obrigado.

o primeiro algarismo não pode ser zero, então tem 6 opções para o primeiro. O segundo pode ser qualquer um, menos o que já escolhemos no primeiro, então são 6 opções de novo. Depois cada um só não pode repetir o que já foi:
6.6.5.4.3 = 2160
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+2 # Matheus Toffano 02-09-2015 22:50
(UNAERP-SP) Em uma mesa redonda estão sentados quatro homens e quatro mulheres alternadamente. De quantas formas poderão sentar-se, admitindo que duas mulheres nunca fiquem juntas?
a) 156
b) 162
c) 189
d) 144
e) 2 613
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0 # victoria 15-10-2015 16:15
João Pedro terminou um trabalho que tinha várias páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então, quantas páginas tinha o trabalho de João Pedro?
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0 # RafaelCinoto 24-10-2015 14:48
Citando victoria:
João Pedro terminou um trabalho que tinha várias páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então, quantas páginas tinha o trabalho de João Pedro?

Da pág 1 à 9 = 9 algarismos
Da 10 à 99 = 2 x 90 = 180
Para 270 faltam 270 - 189 = 81 algarismos, ou seja, mais 27 páginas com 3 algarismos cada, que será da 100 à 126.
O trabalho tinha 126 páginas.
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+1 # victoria 06-11-2015 16:07
obrigada ;-)
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0 # Juliana 01-11-2015 22:10
oito pessoas estão juntas em uma sala: qtos grupos de 3 pessoas podem ser formados com as pessoas presentes na sala? não consigo me ajude a fazer por favor é para dia 3 /11 URGENTE
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+1 # RafaelCinoto 06-11-2015 20:01
Citando Juliana:
oito pessoas estão juntas em uma sala: qtos grupos de 3 pessoas podem ser formados com as pessoas presentes na sala? não consigo me ajude a fazer por favor é para dia 3 /11 URGENTE

É o número de combinações de 8 pessoas tomadas 3 a 3:
C8,3 = 8!/(5!.3!) = 8.7.6.5!/(5!.3.2) = 56
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+1 # Victor 03-12-2015 03:06
Na equipe de Fernanda tem 4 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 3 pessoas, sendo 1 homem e 2 mulheres, podem ser formadas com essa equipe?
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+1 # RafaelCinoto 09-12-2015 01:07
Citando Victor:
Na equipe de Fernanda tem 4 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 3 pessoas, sendo 1 homem e 2 mulheres, podem ser formadas com essa equipe?

Tem que escolher 1 entre 4 homens e também tem que escolher 2 entre 5 mulheres:
C4,1 . C5,2 = 4.10 = 40
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+1 # Leonor 06-01-2016 22:37
Tenho 3 cubos de quantas maneiras possiveis os dados podem estar para que a soma destes tres dê 10?

Obrigada
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+1 # RafaelCinoto 08-01-2016 14:48
Citando Leonor:
Tenho 3 cubos de quantas maneiras possiveis os dados podem estar para que a soma destes tres dê 10?

Obrigada

Como o número é pequeno, pode contar diretamente:
2,2,6 - 2,6,2 - 6,2,2 = 3 casos
2,3,5 - 2,5,3 ... = 6 casos
2,4,4 - 4,2,4 - 4,4,2 = 3 casos
3,3,4 - 3,4,3 - 4,3,3 = 3 casos
De 15 maneiras se contar que os dados são diferentes, ou então somente esses 4 casos.
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+1 # José Carlos 25-01-2016 14:38
Caro Mestre,como resolvo esta questão.

Uma delegação constituída de dez atletas vindos de cinco países diferentes,sendo uma moça e um rapaz de cada um desses países,pretende fazer exibições no Brasil. Se cada exibição será feita simultaneamente por 4 atletas,todos de nacionalidades diferentes,o número de exibições com pelo menos um atleta diferente é:

a) 120
b) 80
c) 115
d) 247
e) 60
Resposta letra b
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0 # vivian 29-02-2016 12:48
qual a posição do numero 7365 se organizarmos em ordem crescente todos os numeros possiveis de 4 algarismos distintos utilizando 2,3,5,6,7 e 9
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0 # Marcia 11-04-2016 15:04
Esse número é formado pelos algarismos 1 a 6
Nenhum algarismo se repete
O valor posicional do algarismo 5 é 50.000
O algarismo 4 ocupa a ordem das centenas de milhar
O valor absoluto e o valor posicional do algarismo 6 são iguais
Na decomposição desse número, podemos escrever que ele tem 13 dezenas

Favor me passar a resposta..
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+1 # Dominus Farib 15-04-2016 14:31
Recebo um determinado numero X, que por exemplo poderia ser 17, preciso combinar, até 5 combinações entre os nros 1,2,3
Ou seja, quanto quantos conjuntos de 1,2 e 3 posso organizar para dar X (17)
Exemplo: 4*(3)+2*(2)+1*(1) = 17
ou 5*(3)+1*(2) ou 5*(3)+2*(1)

??

Grato: Dominus Farib
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+1 # Lisy lopes 10-05-2016 23:51
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 0 1 4 5 7 8 e 9?
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0 # catarina 09-07-2016 15:32
Quantos números inteiros positivos pares com quatro algarismos podem ser escritos com os algarismos 0, 1, 2 e 4?
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+1 # Cezar 10-07-2016 15:01
É do PIC da OBMEP ? você já achou a resposta ? :/
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0 # Cléo 31-08-2016 00:59
Durante uma palestra foram reservados quinta assentos para os convidados. Se apenas dez convidados foram à palestra, de quantas maneiras distintas eles poderão acomodar-se nos assentos reservados?
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0 # Cléo 31-08-2016 01:02
Com os algarismos 0,1,2,5,6,8 e 9, determine quantos números pares de sete algarismos distintos podem ser formados.
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0 # Josi 22-09-2016 16:41
Veja se consegue me ajudar.
Eu preciso montar um roteiro de visita com 15 clientes, e preciso dividi-los em 3 grupos com 5 clientes cada, mas tenho 2 clientes que não podem estar no mesmo grupo. De quantas formas diferentes os clientes podem ser alocados neste roteiro?
HELP MEEEEEE
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0 # Gabi. 22-09-2016 17:37
Quantos são os anagramas da palavra SOLÚVEL que começam com vogal?
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0 # Carlos Alberto 27-10-2016 00:06
De quantas maneiras podemos dispor 10 ocorrência do 0 e 5 ocorrência do número 1.de modo que:
a) todas as ocorrência do 1 estejam juntas

b) quaisquer duas ocorrências do 1 estejam intercaladas por ocorrência do 0.
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0 # Carlos Alberto 06-11-2016 13:55
De quantas maneiras podemos escolher simultaneamente cinco cartas de um baralho francês de 52 cartas de modo que escolhemos pelo menos dois Reis
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0 # Antonio Carlos 20-12-2016 05:30
Irei fazer uma viagem de 15 dias em um grupo de 7 pessoas. Como faço para calcular os gastos em partes iguais? Sendo que eu tenho apenas uma estimativa de preços, de hotéis, carro e outras coisas, e não o valor real.
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0 # RafaelCinoto 20-12-2016 15:23
Citando Antonio Carlos:
Irei fazer uma viagem de 15 dias em um grupo de 7 pessoas. Como faço para calcular os gastos em partes iguais? Sendo que eu tenho apenas uma estimativa de preços, de hotéis, carro e outras coisas, e não o valor real.

É só somar todos os gastos estimados e dividir por 7. Como não tem o valor real, não tem como saber o real, mas já terá uma estimativa para todos, não tem nada melhor pra fazer se não souber o real.
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0 # Renan 11-03-2017 15:06
A sua turma possui 10 mulheres, 5 homens. Quantos grupos de estudo com 3 alunos podemos formar com 2 mulheres?
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0 # RafaelCinoto 14-03-2017 15:22
Citando Renan:
A sua turma possui 10 mulheres, 5 homens. Quantos grupos de estudo com 3 alunos podemos formar com 2 mulheres?

Precisa escolher 2 de 10 mulheres (combinação de 10, duas a duas) e 1 homem entre os 5 (combinação de 5, um a um). Como são as duas coisas, é só multiplicar os totais:
C10,2 . C5,1 = 45 . 5 = 225
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