Fatorial

Fácil 

3) Determine m tal que 5.C(m+1, 3) = 2.C(m+2, 2), onde C(n, p) é o número de combinações de n elementos tomados p a p.  

Resolução:

5.C(m+1, 3) = 2.C(m+2, 2)
5.(m + 1)!/3!.(m + 1 - 3)! = 2.(m + 2)!/2!.(m + 2 - 2)!
5.(m + 1)!/3!.(m - 2)! = 2.(m + 2)!/2!.m!
5.(m + 1)!/3!.(m - 2)! = (m + 2)!/m!
5.(m + 1)!/3!.(m - 2)! = (m + 2).(m + 1)!/m!

divide os dois membros por (m + 1)!:
5/3!.(m - 2)! = (m + 2)/m!
5/3!.(m - 2)! = (m + 2)/m.(m - 1).(m - 2)!

multiplica os dois membros por (m - 2)!:
5/3! = (m + 2)/m.(m - 1)
5/6 = (m + 2)/m.(m - 1)
5.m.(m - 1) = 6.(m + 2)
5m² - 5m = 6m + 12
5m² - 11m - 12 = 0

resolvendo a equação do segundo grau:
(5m + 4).(m - 3) = 0
m = -4/5 ou m = 3

Como m tem que ser um número natural:
m = 3