Conjuntos

Conjuntos

Fácil 

1) Um subconjunto X de números naturais contem 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual é o número de elementos de X? Resolução

2) Dentre os alunos inscritos nas disciplinas Computação, Física e Álgebra, respectivamente 35, 47 e 23 são do curso de Engenharia Mecânica. Sabe-se que 15 deles se inscreveram somente em Computação e Física, 8 somente em Computação e Álgebra, 7 somente em Física e Álgebra e apenas 5 se inscreveram nas três disciplinas. Quantos alunos da Engenharia Mecânica estão inscritos em pelo menos uma dessas três disciplinas ? Resolução 

3) A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e A U B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B - A é: 

a)  8     b) 10     c) 12     d) 18     e) 22     Resolução

4) Um professor constatou que entre 200 de seus alunos; 68 são comportados; 135 são inteligentes; 160 são tagarelas; 120 são tagarelas porém inteligentes; 20 são comportados mas não inteligentes; 13 são comportados mas não tagarelas; 15 são comportados, tagarelas e não inteligentes. Quantos dentre esses 200 alunos não são comportados, não tagarelas e não são inteligentes? Resolução 

Médio  

1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não têm pai professor, 130 alunos não têm mãe professora e 5 alunos têm pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 56 alunos possuem apenas um dos pais professores e que não exista aluno irmão. Resolução

2) (UFU 1º fase) Sejam A, B e C conjuntos distintos com exatamente 4 elementos cada um e, sabendo-se que A U B U C, A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C tem respectivamente, 7, 3, 2 e 1 elementos então o número de elementos de (A ∩ B) U C é igual a:

a) 5     b) 8     c) 6     d) 7     e) 4     Resolução

3) 3 jornais A, B e C  são publicados em uma cidade e uma pesquisa recente entre os leitores indica o seguinte: 20% leem A; 26% B; 14% C; 8% A e B; 5% A e C; 4% B e C; 2% A, B e C. Para um leitor escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que:

   a) ele não leia qualquer dos jornais;

   b) ele leia só um dos jornais;

   c) leia A e B se souber que ele lê ao menos 1 jornal Resolução 

4) Sabendo que a fórmula do número de elementos da união de dois conjuntos é n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), determine a fórmula da união de 3 conjuntos n(A U B U C). Resolução

5) Considere 2 conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, classifique em verdadeiro ou falso e justifique cada uma das seguintes afirmações:

(   ) A ∩ B terá no mínimo 12 elementos.

(   ) A U B terá no mínimo 15 elementos.

(   ) o número máximo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B.

(   ) o número mínimo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B. Resolução 

Difícil  

1) Em uma pesquisa com 100 pacientes foi constatado que 74 exibiam esquizofrenia, 17 exibiam paranóia e 25 eram maníacos. Destes 100, precisamente 4 apresentavam os 3 sintomas. Além disso, cada paciente apresentava pelo menos um dos 3 sintomas. Qual o número de pacientes que exibiam exatamente duas das 3 enfermidades? Resolução

2) O conjunto A é o subconjunto do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...} definido de acordo com as seguintes regras:
I) 5 pertence a A e 6 pertence a A;
II) Se x pertence a A, então x + 5 pertence a A e x + 6 pertence a A.
Pergunta-se:
   a) Quais dos números 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 estão em A?
   b) O número 100 está em A?
   c) Qual o menor inteiro positivo n tal que A contém todos os números de n em diante? Resolução
 
3) Numa pesquisa de intenção de votos, em que as pessoas deveriam responder sim ou não, foram feitas as seguintes perguntas:
1) Você votou no atual prefeito?
2) Se o atual prefeito fosse candidato à reeleição, você votaria nele?

Nenhuma pergunta ficou sem resposta, 30 pessoas responderam sim às duas questões, 60 responderam não à primeira questão, 80 responderam não à segunda questão e 130 disseram sim a uma questão, ao menos. O número de pessoas entrevistadas foi de ... Resolução

4) Sejam A, B, C três conjuntos não vazios com respectivamente a, b, c elementos. Se x, y, z são os números de elementos de B ∩ C, A ∩ C e A ∩ B respectivamente. Se d(B, C) quer dizer a diferença simétrica entre os conjuntos B e C, sejam ainda d(B, C) = b + c - 2x; d(A, C) = a + c - 2y e d(A, B) = a + b - 2z. Então prove que d(B, C) = 0 se, e somente se B = C. Resolução

5) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C?

a) 30%     b) 28%     c) 25%     d) 27%     e) 20% Resolução 

Insano!  

1) (ITA) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9, n(B U C) = 10, N(A U B U C) = 11 e n(A ∩ ∩ C) = 2. Então n(A) + n(B) + n(C) é igual a:

a) 11     b) 14     c) 15     d) 18     e) 25     Resolução