Análise Combinatória

Médio

14) Numa classe de 10 estudantes um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos 10 são marido e mulher e só irão juntos?

Resolução:

Temos que analisar duas coisas separadas. O primeiro caso é se o casal vai na viagem. O segundo caso é se eles não forem.

Primeiro caso = casal vai:

Se o casal vai, faltam duas pessoas para completar as 4. Temos 8 pessoas para escolher porque das 10 já pegamos o casal (2 pessoas). Temos que fazer uma combinação de 8 pessoas tomadas 2 a 2.

C(8,2) = 8! / (8 - 2)! . (2!)
= 8! / (6! . 2!)
= 8.7.6! / (6! . 2!)
= 8.7 / 2.1
= 56/2
=28

Segundo caso - casal não vai:

Agora temos 8 pessoas para escolher um grupo de 4. Faremos a combinação de 8 elementos tomados 4 a 4.

C(8,4) = 8! / (4! . 4!)
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4!)
= 8.7.6.5 / 4!
= 8.7.6.5 / 4.3.2.1

simplificando o 4 e o dois do denominador com o 8 do numerador; o 3 do denominador com o 6 do numerador:

= 7.2.5
= 70

Somando o total dos dois casos:

= 70 + 28
= 98