Análise Combinatória

Fácil 

18) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Quantos são os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações?

Resolução:

Nesse exercício, a gente pode usar uma maneira muito interessante de resolver. Ao invés de calcular o que ele está pedindo diretamente, a gente pode calcular o total de resultados possíveis com todos os atletas e tirar os resultado em que nenhum brasileiro está no pódio, o que sobrar são os resultados onde haverá pelo menos um brasileiro no pódio.
 
O total de resultados é o número de conjuntos ordenados (já que cada conjunto de 3 pessoas pode formar vários pódios diferentes) de 3 pessoas que podemos formar com todos os 9 atletas. Para calcular conjuntos ordenados usamos a fórmula de arranjo:
A(9, 3) =
= 9! / (9 - 3)!
= 9.8.7.6! / 6!
= 9.8.7
= 504 resultados
 
Esse é o total, mas vamos calcular também o número de resultados onde não aparece nenhum brasileiro, ou seja, é o nº de conjuntos ordenados de 3 atletas formados com todos que não são brasileiros, que são 5 atletas:
A(5, 3) =
= 5! / (5 - 3)!
= 5.4.3.2! / 2!
= 5.4.3
= 60 resultados
 
Como em 60 resultados não aparece nenhum brasileiro no pódio, no resto aparece pelo menos 1, que é:
504 - 60 = 444 resultados

Outra maneira, mais longa, de se calcular isso, seria calcular o nº de resultados onde aparece 1 brasileiro no pódio, mais o nº de resultados com 2 brasileiros no pódio, mais o nº de resultados com 3 brasileiros e somar tudo. Mas esse é bem mais trabalhoso.