Análise Combinatória

Fácil 

17) Uma seleção de futebol, convocou 22 jogadores, sendo 2 goleiros e 20 jogadores divididos em: 4 zagueiros, 4 laterais, 8 Meio Campistas e 4 atacantes. Sabendo-se que joga SEMPRE: 1 goleiro, 2 laterais, 2 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes; com quantas formas diferentes, poderia-se armar um time?

Resolução:

Temos 22 jogadores divididos em 5 posições:
2 goleiros
4 zagueiros
4 laterais
8 meio camp.
4 atacantes

Como temos que escolher 1 goleiro, só temos 2 opções. Para escolhermos os 2 zagueiros, temos 4 disponíveis, e aí precisamos saber todas as combinações possíveis de se formar com 4 jogadores tomados 2 a 2. Isso pode ser alculado pela fórmula de combinações, sendo "n" o número total de elementos e "p" o número de elementos que queremos:

C(n, p) = n! / [p!.(n - p)!]

Assim, temos que calcular uma combinação C(4, 2):

= C(4, 2)
= 4! / (2!.2!)
= 4.3.2! / 2!.2
= 4.3 / 2
= 2.3
= 6 combinações.

Então há 6 maneiras de escolhermos 2 zagueiros entre os 4 disponíveis. O mesmo acontece com os laterais e os atacantes, pois todos são em número de 4 e precisamos de apenas 2 de cada. Já os meio campistas são em nº de 8 e recisamos escolher 4. Faremos então uma combinação C(8, 4):

= C(8, 4)
= 8! / (4!.4!)
= 8.7.6.5.4! / (4!.4.3.2)
= 8.7.6.5 / 4.3.2
= 8.7.5 / 4
= 2.7.5
= 70 combinações.

Agora, pelo princípio multiplicativo, vamos multiplicar todas as possibilidades que temos para cada posição:

goleiros = 2
zagueiros = 6
laterais = 6
meio camp. = 70
atacantes = 6

= 2.6.6.70.6
= 30.240 maneiras de escolhermos o time.