Análise Combinatória

Médio 

13) Um teste é composto por 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. Qual o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas e obter, pelo menos, 80% de acertos?

Resolução:

O problema quer obter pelo menos 80% de acerto. Se o teste tem 15 afirmações, para obtermos 80% de acerto, temos que acertar 80% de 15:
0,8 . 15 = 12 questões.
 
Temos que acertar no mínimo 12 questões. Mas podemos acertar também 13, 14 ou 15 questões. Então temos que calcular de quantas maneiras se pode acertar 12, 13, 14 ou 15 questões da prova.
 
Para acertar 12 questões, como só há dois tipos de resposta, V ou F, se erramos uma questão, ela só pode estar errada de uma maneira, pois se era V colocamos F, ou vice-versa. Então para acertar as 12 questões, temos que escolher 12 questões quaisquer das 15 possíveis para ficarem com V. Isso é calculado através da combinação de 15 elementos tomados 12 a 12, pois a ordem não importa:
C(15, 12) =
= 15! / 12!.3!
= 15.14.13.12! / 12!.3.2
= 15.14.13 / 3.2
= 15.7.13 / 3
= 5.7.13
= 5.7.13
= 455
 
Agora para acertarmos 13 questões, temos que escolher 13 das 15 questões para ficarem com V. Isso é feito novamente através da combinação de 15 termos tomados 13 a 13:
C(15, 13) =
= 15! / 13!.2!
= 15.14.13! / 13!.2
= 15.14 / 2
= 15.7
= 105
 
Para acertarmos 14 questões, podemos pensar que temos que errar uma. Se são no total 15 questões, podemos errar qualquer uma das 15, ou seja há 15 possibilidades de errarmos 1 questão, podemos errar a 1ª, a 2ª, a 3ª ... a 14ª ou a 15ª.
C(15, 14) = 15
 
E por fim, para acertarmos todas as questões, só há uma combinação possível:
C(15, 15) =
= 15! / 15!.1!
= 1/1
= 1
 
Agora somando todas essas chances, porque o problema diz que podemos acertar pelo menos 80%:
455 + 105 + 15 + 1 =
= 576 maneiras diferentes