Análise Combinatória

Médio

12) De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?
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Resolução:

Como não podemos ter duas letras iguais na mesma coluna, se tivermos um A em uma coluna, só podemos ter um B ou um C nessa coluna. Mas veja que não podemos ter A e B em duas colunas diferentes porque senão teríamos que ter dois C na outra coluna. Então só podemos ter 3 tipos de colunas mesmo:
AB, AC e BC

Agora esses três pares podem estar em quaisquer colunas, então vamos colocar AB em uma coluna qualquer e para isso temos 3 opções. Depois que escolhermos a coluna de AB, vamos escolher a coluna de AC e aí só temos 2 opções. E para BC só sobra uma opção. Então temos um total de:
= 3.2.1
= 6 maneiras

de colocar os 3 pares nas colunas. Mas cada par ainda pode estar de duas maneiras na coluna. Em AB por exemplo, o A pode estar na primeira linha e o B na segunda ou então o contrário. Então temos 2 opções para a primeira coluna, 2 opções para a segunda coluna e 2 opções para a terceira também. então além das 6 maneiras de colcoar nas colunas, ainda temos que multiplicar 3 vezes por 2 que são as maneiras de ordenar cada par:
= 6.2.2.2
= 48 maneiras