Análise Combinatória

Difícil 

10) Possuo três jarros idênticos e desejo ornamentá-los com 18 rosas, sendo 10 vermelhas e 8 amarelas. Desejo que um dos jarros tenha 7 rosas e os outros dois, no mínimo 5 rosas. Cada um deverá ter, pelo menos, duas rosas vermelhas e uma amarela. Quantos arranjos florais poderei fazer usando as 18 rosas?

a) 10     b) 11     c) 12     d) 13     e) 14    

Resolução: 

Temos 3 jarros e cada um deve ter pelo menos duas rosas vermelhas e uma rosa amarela. Nisso já teremos usado 9 rosas, só sobraram 9 sendo 4 vermelhas e 5 amarelas. Um dos jarros terá 7 rosas e como os outros devem ter pelo menos 5 rosas, se 1 deles tiver 5 o 3º só poderá ter 6 rosas. Então a única maneira de satisfazer essa condição da quantidade de rosas por jarro é que os jarros tenham exatamente:

7 rosas, 5 rosas e 6 rosas

 

Mas como já colocamos 3 rosas em cada um (2 vermelhas e 1 amarela), podemos pensar o problema assim, tirando essas 3 de cada um, devemos distribuir 9 rosas (4 vermelhas e 5 amarelas) e 3 jarros, cada um contendo:

4 rosas, 2 rosas e 3 rosas

 

Primeiro vou colocar as rosas no vaso que terá mais 2 rosas. Agente pode pensar só nas rosas vermelhas, porque se colocarmos as 4 vermelhas as amarelas já terão seus lugares determinados. Então para o jarro que terá mais 2 rosas, temos 3 opções:

2 verm

1 verm

0 verm

 

Agora para o jarro que terá mais 3 rosas, depende de quantas rosas vermelhas colocamos no vaso com 2. Veja os casos:

jarro com 2   jarro com 3

2 verm           2 verm, 1 verm, 0 verm

1 verm           3 verm, 2 verm, 1 verm, 0 verm

0 verm           3 verm, 2 verm, 1 verm, 0 verm

 

Depois de colocadas as rosas vermelhas nesses dois vasos, agora só precisamos completar onde está faltando rosas com as rosas amarelas e o vaso com 4 rosas já não tem mais opção, ficará com o que sobrar. Então vamos contar quantas maneiras temos:

Se o jarro com 2 rosas tiver 2 vermelhas, temos 3 opções.

Se o jarro com 2 rosas tiver 1 vermelha, temos 4 opções.

Se o jarro com 2 rosas tiver 0 vermelhas, temos 4 opções.

 

Temos ao todo 3 + 4 + 4 = 11 opções.

 

Resposta: Alternativa b) 11