Análise Combinatória

Médio 

8) De quantas maneiras um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas? 

Resolução: 

Temos 10 pessoas para dividir em 3 grupos. Como a ordem das pessoas não faz diferença, vamos começar escolhendo o grupo de 5 pessoas, que pode ser feito pela combinação de 10 elementos tomados 5 a 5:

C(10, 5)

 

Depois de escolhidas as 5 pessoas dese grupo ainda sobram 5 pessoas e temos que escolher um grupo de 3 pessoas, que será feito através de uma combinação de 5 pessoas tomadas 3 a 3. Mas para cada uma das combinações anteriores de 10 elementos tomados 5 a 5, temos combinações de 5 elementos tomados 3 a 3. Então temos que multiplicar os dois:

C(10, 5).C(5, 3)

 

E depois de escolhido o grupo de 3 pessoas só sobram duas pessoas que formarão o terceiro grupo, não temos mais nada pra escolher:

= C(10, 5).C(5, 3)

= (10!/5!.5!).(5!/3!.2!)

= (10!/5!).(1/3!.2!)

= 10!/5!.3!.2!

= 10.9.8.7.6.5!/5!.3.2.2

= 10.9.8.7.6/3.2.2

= 10.9.8.7/2

= 10.9.4.7

= 90.28

= 2520

 

Resposta: 2520 maneiras.