Análise Combinatória

Difícil 

9) Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos? 

Resolução: 

Se temos 10 delegados e queremos que dois deles fiquem juntos e dois separados, podemos calcular de quantas maneiras o brasileiro e o português podem ficar juntos e disso tirar as vezes em que além deles estarem juntos o americano e o iraquiano também estão juntos. Aí só sobrarão as possibilidades em que o brasileiro e o português estão juntos, mas os outros dois não estão juntos.

 

Para calcular de quantas maneiras o brasileiro e o português podem sentar juntos, podemos pensar que eles são como se fossem uma pessoa só que irão permutar com as outras 8 pessoas, dando uma permutação de 9 pessoas:

P9 = 9!

 

Mas os dois ainda podem trocar de lugar entre si, o que faz com que tenhamos o dobro de possibilidades:

= 2 . 9!

 

Esse é o total de maneiras de o brasileiro e o português sentarem juntos. Agora vamos ver quantas vezes os outros dois também estão juntos. Agora temos o brasileiro e o português como se fossem uma pessoa, o iraquiano e o americano como se fossem uma pessoa e mais 6 pessoas. Para permutar tudo temos uma permutação de 8 elementos:

P8 = 8!

 

Mas em cada dupla, podemos trocar as pessoas de lugar. Isso dá o dobro de chances para cada dupla, então teremos:

= 2 . 2 . 8!

= 4 . 8!

 

Mas queremos que só os dois primeiros estejam juntos, então se do total de maneiras deles estarem juntos tirarmos as possibilidades dos outros dois também estarem juntos, só sobrará o que queremos:

= 2 . 9! - 4 . 8!

= 2 . 9.8! - 4 . 8!

= 18 . 8! - 4 . 8!

= 14 . 8!

= 14 . 40320

= 564480 maneiras