Análise Combinatória

Fácil 

15) Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar: 

   a) com 4 homens e 2 mulheres?

   b) contendo H mas não M?

   c) contendo M mas não H? 

   d) contendo H e M? 

   e) contendo somente H ou somente M?     

Resolução:

a) Temos que escolher 4 dos 10 homens e 2 das 6 mulheres. Respectivamente temos combinação de 10 elementos tomados 4 a 4 e combinação de 6 elementos tomados 2 a 2:

C(10, 4) = 10!/6!.4!

C(6, 2) = 6!/4!.2!

 

Para sabermos o total, temos que fazer o produto dos dois, pois para cada combinação de 4 homens temos C(6, 2) combinações de 2 mulheres:

total = C(10, 4) . C(6, 2)

total = (10!/6!.4!).(6!/4!.2!)

total = (10!/4!).(1/4!.2!)

total = 10!/4!.4!.2!

total = 10.9.8.7.6.5.4!/4!.4.3.2.2

total = 10.9.8.7.6.5/4.3.2.2

total = 10.9.7.6.5/3.2

total = 10.9.7.5

total = 10.9.35

total = 10.315

total = 3150 grupos

 

b) Agora temos que formar grupos de 4 homens e 2 mulheres, sendo que um dos homens é H e M não pode ser uma das mulheres. Então como temos que ter 4 homens e um deles é H, temos que escolher apenas 3 homens entre os 9 que sobraram, pois H já é escolhido. Isso é uma combinação de 9 elementos tomados 3 a 3. No caso das mulheres, temos que excluir M, então teremos que escolher 2 mulheres entre as 5 que sobraram, que é uma combinação de 5 elementos tomados 2 a 2:

C(9, 3) = 9!/6!.3!

C(5, 2) = 5!/2!.3!

 

O total será o produto:

total = C(9, 3) . C(5, 2)

total = (9!/6!.3!).(5!/3!.2!)

total = 9!.5!/6!.3!.3!.2!

total = 9.8.7.6!.5.4.3!/6!.3!.3.2.2

total = 9.8.7.5.4/3.2.2

total = 9.8.7.5/3

total = 3.8.7.5

total = 3.7.40

total = 21.40

total = 840 grupos

 

c) Agora H não pode estar entre os homens, então temos que escolher 4 entre os 9 que sobraram. E como M deve estar entre as 2 mulheres, temos que escolher mais uma entre as 5 que sobraram:

C(9, 4) = 9!/4!.5!

C(5, 1) = 5!/4!.1!

 

O total será o produto:

total = C(9, 4) . C(5, 1)

total = (9!/4!.5!).(5!/4!.1!)

total = (9!/4!).(1/4!.1!)

total = 9!/4!.4!.1!

total = 9.8.7.6.5.4!/4!.4.3.2

total = 9.8.7.6.5/4.3.2

total = 9.8.7.5/4

total = 9.2.7.5

total = 9.7.10

total = 63.10

total = 630 grupos

 

d) Como H e M devem estar nos grupos, temos que escolher só 3 homens entre os 9 que sobraram e 1 mulher entre as 5 que sobraram:

C(9, 3) = 9!/3!.6!

C(5, 1) = 5!/4!.1!

 

O total será o produto:

total = C(9, 3) . C(5, 1)

total = (9!/3!.6!).(5!/4!.1!)

total = 9!.5!/3!.6!.4!.1!

total = 9!.5!/3!.6!.4!

total = 9.8.7.6!.5.4!/3!.6!.4!

total = 9.8.7.5/3!

total = 9.8.7.5/3.2

total = 9.4.7.5/3

total = 3.4.7.5

total = 3.7.20

total = 21.20

total = 420 grupos

 

e) Nessa questão nossas opções são:

- contendo H e não contendo M

- contendo M e não contendo H

 

Não pode ter os dois e nem nenhum dos dois. Então temos que somar os quesitos b) e c):

total = 840 + 630

total = 1470 grupos