Análise Combinatória

Médio 

9) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação é igual a:

a) 1.365     b) 860     c) 240     d) 120     e) 35     

Resolução:

Como ele vai doar pelo menos dois livros para cada biblioteca, já sabemos que 8 livros não temos escolha, vão 2 pra cada uma. Agora temos que distribuir os 7 livros restantes enter as 4 bibliotecas.

 

Digamos que daremos x livros para a primeira, y, z e w livros para a segunda, terceira e quarta bibliotecas respectivamente. Isso é a mesma coisa que encontrarmos todas as soluções inteiras não negativas da seguinte equação:

x + y + z + w = 7

 

Por exemplo, algumas soluções seriam:

2 + 0 + 3 + 2 = 7

3 + 0 + 2 + 2 = 7

0 + 0 + 0 + 7 = 7

 

Para isso temos uma fórmula de combinações com repetição que é a seguinte:

 

Seja m o número que queremos obter como soma (nesse caso é 7) e seja n o número de variáveis (nesse caso é 4), para sabermos o número de soluções inteiras não negativas dessa equação faremos a combinação de m + n - 1 termos tomados n - 1 a n - 1:

= C(m+n-1, n-1)

 

Nesse caso temos m = 7 e n = 4, então:

= C(7+4-1, 4-1)

= C(10, 3)

= 10!/3!.7!

= 120

 

Outra forma de pensar pode ser que você tem 7 unidades para separar em 4 partes. Podemos considerar cada unidade como um traço e cada separação como uma barra vertical. Então temos que ordenar esses 10 elementos e cada ordenação significa uma solução. Por exemplo 2 + 0 + 3 + 2 = 7 seria: 

_ _ | | _ _ _ | _ _

 

Já 3 + 0 + 2 + 2 = 7 seria:

_ _ _ | | _ _ | _ _ 

 

0 + 0 + 0 + 7 = 7 seria:

| | | _ _ _ _ _ _ _  


Portanto precisamos fazer uma permutação com repetição de 10 elementos quando temos um elemento que repete 3 vezes e outro que repete 7 vezes o que nos dá:
= P10 3,7 

= 10!/3!.7!

= 120