Análise Combinatória

Difícil 

3) Quantos são os anagramas da palavra SIDERAL:

   a) em que as vogais estão em ordem alfabética? 

   b) em que as consoantes estão em ordem alfabética? 

Resolução:

a) Essa é bem ruim porque podemos ter espaços entre as letras. Então precisamos saber de quantas maneiras podemos ter as vogais em ordem crescente deixando espaços ou não entre elas. Então vamos pensar apenas nas vogais deixando espaços para as 4 consoantes que depois é só colocarmos fazendo permutações entre elas (de 4 elementos).

Primeiro podemos ter as 3 vogais juntas de 5 maneiras:

AEI _ _ _ _

_ AEI _ _ _

_ _ AEI _ _

_ _ _ AEI _

_ _ _ _ AEI

 

Depois podemos ter só AE juntas de 10 maneiras:

AE _ I _ _ _

AE _ _ I _ _

AE _ _ _ I_

AE _ _ _ _ I

_ AE _ I _ _

_ AE _ _ I _

_ AE _ _ _ I

_ _ AE _ I _

_ _ AE _ _ I

_ _ _ AE _ I

 

Depois podemos ter EI juntas de 10 maneiras:

A _ EI _ _ _

A _ _ EI _ _

A _ _ _ EI _

A _ _ _ _ EI

_ A _ EI _ _

_ A _ _ EI _

_ A _ _ _ EI

_ _ A _ EI _

_ _ A _ _ EI

_ _ _ A _ EI

 

Depois podemos ter todas as letras separadas de 10 maneiras:

A _ E _ I _ _

A _ E _ _ I _

A _ E _ _ _ I

A _ _ E _ I _

A _ _ E _ _ I

A _ _ _ E _ I

_ A _ E _ I _

_ A _ E _ _ I

_ A _ _ E _ I

_ _ A _ E _ I

 

Num total de 35 maneiras. Agora para cada uma dessas 35 maneiras, podemos colocar as consoantes de qualquer maneira, ou seja podemos permutá-las como quisermos, então temos permutações de 4 elementos. O total de maneiras será os 35 vezes as permutações de 4 elementos:

= 35 . P4

= 35 . 4!

= 35 . 24

= 840

 

b) Agora é o mesmo para as consoantes. Precisamos saber de quantas maneiras podemos ter as consoantes em ordem crescente deixando espaços ou não entre elas. Então vamos pensar apenas nas consoantes deixando espaços para as 3 vogais que depois é só colocarmos fazendo permutações entre elas (de 3 elementos).

Primeiro podemos ter as 4 consoantes juntas de 4 maneiras:

DLRS _ _ _

_ DLRS _ _

_ _ DLRS _

_ _ _ DLRS

 

Depois podemos ter só DLR juntas de 6 maneiras:

DLR _ S _ _

DLR _ _ S _

DLR _ _ _ S

_ DLR _ S _

_ DLR _ _ S

_ _ DLR _ S

 

Depois podemos ter só LRS juntas de 6 maneiras:

D _ LRS _ _

D _ _ LRS _

D _ _ _ LRS

_ D _ LRS _

_ D _ _ LRS

_ _ D _ LRS

 

Depois podemos ter DL e RS juntas de 6 maneiras:

DL _ RS _ _

DL _ _ RS _

DL _ _ _ RS

_ DL _ RS _

_ DL _ _ RS

_ _ DL _ RS

 

Depois podemos ter só DL juntas de 4 maneiras:

DL _ R_ S _

DL _ R_ _ S

DL _ _ R_ S

_ DL _ R_ S

 

Depois podemos ter só LR juntas de 4 maneiras:

D _ LR _ S _

D _ LR _ _ S

D _ _ LR _ S

_ D _ LR _ S

 

Depois podemos ter só RS juntas de 4 maneiras:

D _ L _ RS _

D _ L _ _ RS

D _ _ L _ RS

_ D _ L _ RS

 

Depois podemos ter todas as letras separadas de 1 maneira:

D _ L _ R _ S

 

Num total de 35 maneiras. Repare que tinha que dar a mesma coisa que deu para as vogais, pois essas 35 maneiras são todas as formas de termos vogais e consoantes ordenadas. Imagine que para todas aquelas posições das vogais, você só pudesse colocar nos tracinhos as consoantes em ordem alfabética, é a mesma coisa. Agora para cada uma dessas 35 maneiras, podemos colocar as vogais de qualquer maneira, ou seja podemos permutá-las como quisermos, então temos permutações de 3 elementos. O total de maneiras será os 35 vezes as permutações de 3 elementos:

= 35 . P3

= 35 . 3!

= 35 . 6

= 210

Mas no primeiro comentário abaixo, tem uma maneira mais direta de se resolver. Valeu Victor!