Análise Combinatória

Difícil 

2) Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA:

   a) que alternam consoantes e vogais? 

   b) que possuem as vogais juntas? 

Resolução:

a) Essa palavra tem 6 vogais e 6 consoantes. Para alternar as vogais e consoantes temos duas disposições (onde tem C é consoante e onde tem V é vogal):

CVCVCVCVCVCV

VCVCVCVCVCVC

 

Para cada uma das disposições temos o mesmo cálculo, então vamos pensar em uma e depois multiplicamos por 2. Imagine a primeira situação, temos que colocar as vogais onde estão os V. Como podemos colocar qualquer  vogal em qualquer V, temos que calcular as permutações das vogais, que são 6, mas temos repetições, temos duas vogais de cada tipo:

P62, 2, 2 = 6!/2!.2!.2!

P62, 2, 2 = 720/2.2.2

P62, 2, 2 = 720/8

P62, 2, 2 = 90

 

O mesmo vale para as consoantes que poderão ser permutadas entre elas de qualquer maneira, e não há repetição:

P6 = 6!

P6 = 720

 

Juntando as duas coisas:

= 90 . 720

= 64800

 

E como isso era uma das disposições entre vogais e consoantes, ainda temos que multiplicar por dois porque temos duas disposições possíveis:

= 2 . 64800

= 129600

 

b) Agora as vogais estão juntas, como se fossem uma letra, permutando com as 6 consoantes. Então temos uma permutação de 7 elementos:

P7 = 7!

P7 = 5040

 

Mas as vogais ainda podem se permutar entre si, numa permutação de 6 elementos com 3 repetições de duas letras:

P62, 2, 2 = 6!/2!.2!.2!

P62, 2, 2 = 720/2.2.2

P62, 2, 2 = 720/8

P62, 2, 2 = 90

 

E juntando as duas coisas:

= 5040 . 90

= 453600