Análise Combinatória

Médio 

4) Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR:

   a) que começam com vogal? 

   b) que começam e terminam em vogal? 

   c) que tenham as vogais juntas? 

Resolução:

a) Se começa com vogal, temos só 3 opções para a primeira letra. A segunda letra pode ser qualquer uma menos a que já foi, então temos 6 opções. A terceira letra só não pode ser uma que já foi, então temos 5 opções e assim por diante, cada vez temos uma opção a menos. Veja as opções de cada letra:

3 6 5 4 3 2 1

 

Então para sabermos o total de permutações temos que fazer o produto das opções de cada letra:

= 3.6.5.4.3.2.1

= 3.6!

= 3.720

= 2160

 

b) Se começa com vogal, temos só 3 opções para a primeira letra. Como termina em vogal, agora só temos duas opções para a última letra porque já colocamos uma vogal no início. A segunda letra pode ser qualquer uma menos as duas que já foram, então temos 5 opções. A terceira letra só não pode ser uma que já foi, então temos 4 opções e assim por diante, cada vez temos uma opção a menos. Veja as opções de cada letra:

3 5 4 3 2 1 2

 

Então para sabermos o total de permutações temos que fazer o produto das opções de cada letra:

= 3.5.4.3.2.1.2

= 6.5.4.3.2.1

= 6!

= 720

 

c) E, U e A devem estar juntas, então podemos contá-las como sendo uma letra só que será permutada com as outras 4, então temos uma permutação de 5 elementos:

P5 = 5!

P5 = 120

 

Mas como as vogais podem estar em qualquer ordem, elas podem se permutar entre elas. Para cada uma das 120 permutações que temos, ainda temos as permutações das vogais que são:

P3 = 3!

P3 = 6

 

Então temos 6 vezes o que tínhamos:

= 6.120

= 720