Análise Combinatória

Médio 

2) Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE:

   a) começados por IND? 

   b) começados por IND e terminados em T? 

   c) que contenham as letras I e P sempre juntas? 

   d) que contenham as letras I e P sempre juntas nesta ordem? 

   e) que contenham as letras I e P sempre juntas e termine em TE? 

Resolução:

a) Para começar por IND só vamos permutar as outras letras, que são 9, mas há repetição. A letra E aparece 4 vezes e a letra N aparece 2 vazes (não conta o primeiro N porque ele não será permutado). Assim, temos uma permutação de 9 elementos com repetição de 4 e 2 elementos:

P94, 2 = 9!/4!.2! 

P94, 2 = 9.8.7.6.5.4!/4!.2

P94, 2 = 9.8.7.6.5/2

P94, 2 = 9.4.7.6.5

P94, 2 = 7560

 

b) Não vamos mexer no IND nem no T que fica no final. Então permutaremos as outras 8 letras, onde continuamos tendo as mesmas repetições (4 e 2):

P84, 2 = 8!/4!.2!

P84, 2 = 8.7.6.5.4!/4!.2

P84, 2 = 8.7.6.5/2

P84, 2 = 4.7.6.5

P84, 2 = 840

 

c) Como I e P estão sempre juntas, podemos considera-las como sendo uma única letra, então permutaremos todo mundo. Ao invés de permutarmos 12 letras, estaremos permutando 11 (I e P estão juntas), e temos agora 4 repetições de E, 3 repetições de N e duas repetições de D:

P114, 3, 2 = 11!/4!.3!.2!

P114, 3, 2 = 11.10.9.8.7.6.5.4!/4!.6.2

P114, 3, 2 = 11.10.9.8.7.6.5/6.2

P114, 3, 2 = 11.10.9.8.7.5/2

P114, 3, 2 = 11.10.9.4.7.5

P114, 3, 2 = 138600

 

Mas ele não disse em que ordem I e P estão, então, para cada uma dessas permutações, ainda podemos trocar o I de lugar com o P e assim eles continuam juntos. Então o total é duas vezes isso:

= 2 . 138600

= 277200

 

d) Agora I e P estão juntas nessa ordem, então é o mesmo resultado anterior, só que não multiplicamos mais por 2:

= 138600

 

e) Como termina em TE podemos esquecer dessas duas letras. Sobram só 10 letras, mas como I e P estão juntas, vamos considera-las como sendo uma letra para permutar, então é uma permutação de 9 letras e temos algumas repetições: 3 letras E (uma está no final), 3 letras N e duas letras D:

P93, 3, 2 = 9!/3!.3!.2!

P93, 3, 2 = 9.8.7.6.5.4.3!/3!.6.2

P93, 3, 2 = 9.8.7.6.5.4/6.2

P93, 3, 2 = 9.8.7.5.4/2

P93, 3, 2 = 9.4.7.5.4

P93, 3, 2 = 5040

 

Mas como não foi dita uma ordem para I e P que estão juntos, também podemos trocá-los de lugar. Então temos mais uma permutação para cada uma dessas, ou seja, temos o dobro:

= 2 . 5040

= 10080