Análise Combinatória

Difícil

6) Com seis varetas se constrói uma peça como a da figura abaixo.

As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Se deseja pintar cada vareta de uma cor só de modo que em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes. As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a peça? 

Resolução:

Como em cada ponto de união as 3 varetas devem ter cores diferentes, as três varetas interiores devem ter cores diferentes, porque elas se encontram no centro do triângulo. Agora resta saber como podemos colocar as cores das varetas de fora.

Temos 4 cores para pintar as varetas, então vamos chamar essas cores de 1, 2, 3 e 4 e depois veremos como podemos mudar essas cores. Digamos que as cores das varetas internas sejam 1, 2 e 3. Assim, a vareta externa entre as varetas 1 e 2 só pode ser pintada de 3 ou 4, porque não podem se encontrar duas varetas da mesma cor num vértice. da mesma maneira, entre as varetas 2 e 3 só podemos pintar de 1 ou 4 e entre as varetas 1 e 3 só podemos pintar de 2 ou 4.

Agora você pode ir pintando cada caso desses e no final você verá que na verdade tudo pode ser resumido a apenas duas maneiras de pintar as varetas: usando 3 cores ou usando 4 cores. É justamente o que pode ver na na figura abaixo.

Veja que nas duas figuras as cores internas são todas diferentes (1, 2 e 3) e depois as cores externas só há duas possibilidades:

1 – as cores externas podem ser iguais às cores internas, e dessa forma temos que colocar cores diferentes entre as varetas internas, por exemplo, entre as cores 1 e 2 internas, temos que colocar 3 na externa e assim por diante.

2 – Usamos mais uma cor, 4, que você coloca entre duas varetas quaisquer, por exemplo, entre a 1 e a 2. Se você colocar essa quarta cor, você verá que as outras duas varetas não têm opção, só podem ser uma coisa. Entre a 1 e a 3 só podemos ter a 2 e entre a 2 e 3 só podemos ter a 1.

Agora agente precisa colocar as cores no lugar dos números. No caso da primeira possibilidade, temos que tomar cuidado com as rotações da peça. Veja que se colocarmos as cores assim:

1 = azul, 2 = branco, 3 = vermelho

 

ou se colocarmos:

1 = vermelho, 2 = azul, 3 = branco

 

Temos a mesma peça porque foi só uma rotação da peça. Mas se colocarmos:

1 = azul, 2 = vermelho, 3 = branco

 

Aí não tem como rotacionarmos a primeira peça para ficar desse jeito. Assim, temos que escolher 3 das 4 cores disponíveis e aí teremos duas maneiras para cada conjunto de 3 cores. Isso pode ser feito de:

2 . C4, 3 = 2.4!/3!.1!

2 . C4, 3 = 2.4.3!/3!.1

2 . C4, 3 = 2.4

2 . C4, 3 = 8 maneiras

 

Agora vamos ver a segunda possibilidade que é quando usamos 4 cores. Temos que escolher as duas cores que aparecem uma vez só (3 e 4) e aí já sabemos quais as cores que sobram para serem as outras duas que repetem (1 e 2). só que depois de escolhidas as duas cores que repetem, podemos colocar uma interior e a outra exterior ou vice-versa, então já temos dois casos diferentes. E as cores que repetem também podem trocar de lugar que teremos uma nova disposição porque não tem jeito de rotacionarmos a peça de nenhuma maneira que fique a mesma coisa. Então temos que escolher 2 cores que não repetirão, e assim teremos 4 maneiras de dispor as 4 cores (duas vezes pela troca entre 3 e 4 e duas vezes pela troca entre 1 e 2). Assim temos:

2 . 2 . C4, 2 = 2.2.4!/2!.2!

2 . 2 . C4, 2 = 2.2.4!/2.2

2 . 2 . C4, 2 = 4!

2 . 2 . C4, 2 = 24 maneiras

 

E o total de maneiras é a soma dos dois casos considerados:

= 8 + 24

= 32

 

Resposta: 32 maneiras.