Análise Combinatória

Difícil 

5) Dispondo de 6 fichas (2 vermelhas, 2 brancas, 2 azuis) para serem colocadas sobre 6 quadradas dispostos em 2 linhas e 3 colunas. De quantos modos isto pode ser feito se cada coluna deve ter duas fichas de cores diferentes. 

Resolução:

Esse problema tem um problema! Temos que tomar cuidado nos exercícios de análise combinatória quando temos eventos que não são independentes, ou seja, um dos passos depende do passo que foi dado anteriormente. Nesse caso, numa certa altura do problema teremos um evento que depende do passo anterior, então teremos que dividir o problema em partes que tenham apenas passos independentes. Depois somamos todas as possibilidades. Vamos lá.

 

Primeiro vou desenhar as linhas e colunas, e à medida que eu for resolvendo, vou colocando o número de possibilidades para cada quadrado dentro do próprio quadrado. Vou chamar os quadrados pelo seu lugar em relação à linha e a coluna. Assim o primeiro quadrado está na linha 1 coluna 1 (L1C1).

  C1   C2   C3
------------------
|       |       |       |  L1
------------------
|       |       |       |  L2
------------------

 

Bom, primeiro vamos colocar uma ficha, no quadrado L1C1. Quantas possibilidades temos? 6? Não. Só temos três opções, porque temos duas fichas de cada cor, sendo assim, as fichas de mesma cor são apenas uma opção. Nossas opções são: ficha vermelha, ficha branca ou ficha azul. Não importa qual das fichas azuis, por exemplo, eu escolha. O que importa é que ela seja azul! A não ser que as fichas fossem diferentes... Bom, então temos:

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |       |       |  L1
------------------
|       |       |       |  L2
------------------

 

Depois de colocada uma das três cores em L1C1, vamos agora colocar agora uma ficha em L2C1, na mesma coluna da primeira ficha. Então esta ficha tem que ser de cor diferente. Só temos então 2 opções, pois já colocamos uma das cores em L1C1.

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |       |       |  L1
------------------
|  2   |       |       |  L2
------------------

 

Agora vamos para L1C2. Novamente podemos escolher qualquer das três cores, não há restrição. são três opções.

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |  3   |       |  L1
------------------
|  2   |       |       |  L2
------------------

 

E agora temos que colocar uma ficha em L2C2. Quantas opções temos agora? Aí é que vamos ter um problema! Não dá pra dizer um número específico, porque depende da ficha que colocamos acima desta. Se a ficha que colocamos acima dela (L1C2) for de cor igual à uma das cores da coluna 1, só temos uma opção, que é a única cor que ainda não saiu, porque se colocarmos a outra cor que já saiu, não teremos colocado nenhuma ficha de uma cor e aí teríamos que colocar as duas fichas da mesma cor na última coluna! O que não pode acontecer. Por outro lado, se a ficha no quadrado L1C2 for da cor que ainda não tinha saído, temos duas opções para colocar em L2C2, pode ser qualquer outra cor diferente da que está em L1C2 porque não teremos cores repetias na coluna 3. Veja um exemplo com cores: (V = vermelha, A = azul, B = branca):

  C1   C2   C3
------------------
|  V  |  V  |       |  L1
------------------
|  B  |       |       |  L2
------------------

 

Se colocarmos outra ficha vermelha em L1C2, como está acima, não podemos colocar uma branca embaixo dela, porque teríamos que colocar as duas azuis em C3. Então, nesse caso, só temos uma opção: azul! Se eu colocasse uma azul no lugar dessa vermelha:

  C1   C2   C3
------------------
|  V  |  A  |       |  L1
------------------
|  B  |       |       |  L2
------------------

 

Posso colocar vermelha ou branca embaixo dela que sobrará sempre duas fichas diferentes. Então você está vendo que depende se a ficha em L1C2 é diferente das outras duas ou é igual para agente saber quantas possibilidades temos na casa L2C2. Então vamos ter que separar o problema em duas partes: se colocarmos uma ficha de cor diferente ou se colocarmos uma ficha de cor igual a uma das duas primeiras.

 

I) L1C2 tem uma ficha de cor diferente das outras duas cores já escolhidas:

Se L1C2 tem uma cor diferente de uma das duas cores já escolhidas, só temos uma cor pra escolher, então só temos uma opção para L1C2:

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   1  |       |  L1
------------------
|  2   |       |       |  L2
------------------

 

E agora para L2C2 temos duas opções, só tem que ser diferente da cor da ficha acima (L1C2),

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   1  |       |  L1
------------------
|  2   |   2  |       |  L2
------------------

 

E por fim, na última coluna, Só temos duas fichas na mão, então só temos duas opções para a casa L1C3 e depois só teremos uma opção para a última casa, que ficará com a última ficha.

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   1  |   2  |  L1
------------------
|  2   |   2  |   1  |  L2
------------------

 

Pronto! Pelo princípio fundamental de contagem, temos que multiplicar os números de possibilidades de cada quadrado para saber de quantas maneiras podemos colocar essas fichas.

3 . 2 . 1 . 2 . 2 . 1 = 24 maneiras.

 

Esse foi o caso I, agora vamos ao caso II, e depois temos que somar todas as possibilidades.

 

II) L1C2 tem uma ficha de cor igual a uma das outras duas cores já escolhidas:

Se L1C2 tem uma cor igual a uma das duas cores já escolhidas, temos duas cores pra escolher, temos duas opções para L1C2:

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   2  |       |  L1
------------------
|  2   |       |       |  L2
------------------

 

E agora para L2C2 só temos uma opção, pois não podemos colocar a outra cor que já havíamos colocado na primeira coluna porque sobrariam duas fichas da mesma cor!

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   2  |       |  L1
------------------
|  2   |   1  |       |  L2
------------------

 

E por fim, na última coluna, Só temos duas fichas na mão, então só temos duas opções para a casa L1C3 e depois só teremos uma opção para a última casa, que ficará com a última ficha.

  C1   C2   C3
------------------
|  3   |   2  |   2  |  L1
------------------
|  2   |   1  |   1  |  L2
------------------

 

Pronto! Pelo princípio fundamental de contagem, temos que multiplicar os números de possibilidades de cada quadrado para saber de quantas maneiras podemos colocar essas fichas.

3 . 2 . 2 . 1 . 2 . 1 = 24 maneiras.

 

Agora, somando os dois casos, teremos:

24 + 24  = 48 maneiras.