Análise Combinatória

Médio 

3) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila, sem que dois homens fiquem juntos? 

Resolução:

Como os homens não podem ficar juntos, temos que ter pelo menos uma mulher entre dois homens. Então vamos colocar os 4 homens em fila, sempre com uma mulher enrte 2:

H M H M H M H

 

Para isso precisamos usar 3 mulheres. Isso é o mínimo que temos que ter. Mas ainda temos uma mulher para colocar na fila em qualquer lugar. Os lugares possíveis para essa última mulher são 5, onde vou colocar os traços:

_ H M _ H M _ H M _ H _

 

Veja que se colocarmos essa última mulher entre dois homens, de um lado ou de outro da mulher que já está lá, dá na mesma porque depois vamos contar as permutações entre as mulheres. Então temos 5 maneiras diferentes de colocar a última mulher. Além disso, podemos trocar os homens de lugar entre si (que pode ser feito de P4 = 4! maneiras) e as mulheres de lugar enter si (que pode ser feito de P4 = 4! maneiras).

Portanto teremos um total de:

= 5 . 4! . 4!

= 5 . 24 . 24

= 2880 maneiras