Análise Combinatória

Difícil 

1)  Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Qual a soma dos números assim formados? 

Resolução:

Para essa questão você tem que saber que um número natural qualquer pode ser escrito como a soma de potências de 10. Veja:

12467 = 10000 + 2000 + 400 + 60 + 7

72146 = 70000 + 2000 + 100 + 40 + 6

 

Então primerio vamos permutar os 5 números pra ver o que dá. Teremos sempre um número de 5 algarismos da forma:

_ _ _ _ _

 

O primeiro número pode ser qualquer um dos 5, então temos 5 possibilidades de escolha:

5 _ _ _ _

 

O segundo número só não pode ser igual ao primeiro, então só sobraram 4 escolhas:

5 4 _ _ _

 

O terceiro não pode ser igual aos anteriores, então só temos 3 opções:

5 4 3 _ _

 

Para o quarto número só temos duas opções e o quinto número será o que sobrar, só temos uma opção:

5 4 3 2 1

 

Usando o princípio multiplicativo, o total de números que teremos permutando os 5 algarismos será:

5.4.3.2.1 = 5! = 120

 

Então teremos que somar esses 120 números. Bom, repare que desses 120 números, quantas vezes aparece o número 1 na primeira posição? Vamos calcular assim, fixamos o 1 na primeira posição e permutamos os outros números:

1 _ _ _ _

 

Na primeira posição só teremos uma opção, pois queremos que seja o 1. Na segunda posição teremos 4 opções, já que não pode ser o 1. Na terceira posição teremos 3 opções, na quarta 2 opções e na quinta só uma opção, então:

1 4 3 2 1

 

Usando o princípio multiplicativo:

1.4.3.2.1 = 24

 

24 maneiras de colocar o 1 na primeira posição. Mas isso não vale só para o 1, vale para todos os algarismos em questão. Teremos 24 números começados com 1, 24 números começados com 2, 24 números começados com 4, 24 números começados com 6 e 24 números começados com 7, totalizando os 120 números.

Da mesma forma você pode pensar quantos números destes 120, têm o 1 na segunda posição, e como as contas são as mesmas, verá que teremos 24 números com o 1 na segunda posição. Assim como teremos 24 números com o 2 na segunda posição, etc...

Enfim, cada algarismo aparece 24 vezes em cada posição de um número de 5 algarismos.

Primeiro vamos somar as unidades. Temos 24 vezes o 1 como unidade, 24 vezes o 2 como unidade, 24 vezes o 4 como unidade, 24 vezes o 6 como unidade e 24 vezes o 7 como unidade. Então temos que somar:

= 24.1 + 24.2 + 24.4 + 24.6 + 24.7

= 24.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)

= 24.20

 

Agora vamos somar as dezenas. Da mesma maneira cada algarismo aparece 24 vezes em cada posição, mas agora, na posição das dezenas, cada número fica multiplicado por 10. Teremos então:

= 24.10 + 24.20 + 24.40 + 24.60 + 24.70

= 24.(10 + 20 + 40 + 60 + 70)

= 24.10.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)

= 24.10.20

 

E assim seguimos para as centenas:

= 24.100 + 24.200 + 24.400 + 24.600 + 24.700

= 24.(100 + 200 + 400 + 600 + 700)

= 24.100.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)

= 24.100.20

 

E para as milhares:

= 24.1000 + 24.2000 + 24.4000 + 24.6000 + 24.7000

= 24.1000.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)

= 24.1000.20

 

E por fim as dezenas de milhares:

= 24.10000 + 24.20000 + 24.40000 + 24.60000 + 24.70000

= 24.10000.(1 + 2 + 4 + 6 + 7)

= 24.10000.20

 

Agora vamos somar tudo isso:

= 24.20+24.10.20 + 24.100.20 + 24.1000.20 + 24.10000.20

= 24.20.(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000)

= 480.(11111)

= 5333280