Análise Combinatória

Médio 

1) A diretoria de uma empresa compôe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as comissões de três membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não incluem, calcular o valor de n.  

Resolução:

Para formarmos uma comissão de três pessoas em que o presidente seja uma delas, você terá que pegar o presidente e mais duas pessoas entre as restantes, que são "n - 1". Ou seja, temos que calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 das "n - 1" pessoas e isso é feito calculando o número de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto de n - 1 elementos, que é a combinação de n - 1 elementos tomados 2 a 2:

C(n-1, 2) = (n - 1)! / 2!.(n - 1 - 2)!

C(n-1, 2) = (n - 1)! / 2!.(n - 3)!

 

Agora para formar uma comissão de 3 pessoas em que o presidente não participe temos que escolher 3 pessoas entre as restantes "n - 1" e isso é feito através da combinação de n - 1 elementos tomados 3 a 3:

C(n-1, 3) = (n - 1)! / 3!.(n - 1 - 3)!

C(n-1, 3) = (n - 1)! / 3!.(n - 4)!

 

E como o problema diz que o número dessas comissões é o mesmo:

(n - 1)! / 2!.(n - 3)! = (n - 1)! / 3!.(n - 4)!

(n - 1)! / 2.(n - 3)! = (n - 1)! / 3.2.(n - 4)!

(n - 1)! / (n - 3)! = (n - 1)! / 3.(n - 4)!

1 / (n - 3)! = 1 / 3.(n - 4)!

1 / (n - 3).(n - 4)! = 1 / 3.(n - 4)!

1 / (n - 3) = 1 / 3

1.3 = 1.(n - 3)

3 = n - 3

n = 6