Análise Combinatória

Fácil 

3) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?  

Resolução: 

Vamos nomear os compostos que não podem se misturar. Serão eles, A e B. Fora estes temos mais 8 que não têm nenhuma restrição. Então temos 3 possibilidades:

1) Associamos a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.

2) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8.

3) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas.

 

Então temos que ver quantas são as maneiras de associar as substâncias em cada uma das três possibilidades.

 

1) Associamos a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.

Já temos a substância A e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5, que pode ser obtido pela fórmula da combinação. A fórmula é:

C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!], onde,

n = nº de elementos total

p = nº de elementos que queremos escolher

 

Então podemos calcular C(8, 5):

C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]

C(8, 5) = 8!/[5!.(8 - 5)!]

C(8, 5) = 8!/(5!.3!)

C(8, 5) = 8.7.6.5!/(5!.3!)

C(8, 5) = 8.7.6/3.2

C(8, 5) = 8.7.6/6

C(8, 5) = 8.7

C(8, 5) = 56

 

Então, com a substância A, como não podemos misturar a substância B, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.

 

2) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8. Já temos a substância B e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5 novamente:

C(8, 5) = 56

 

Então, com a substância B, como não podemos misturar a substância A, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.

 

3) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas. Agora precisamos calcular o número de subconjuntos de 6 elementos que podemos formar a partir do conjunto de 8 elementos. Isso é obtido pela fórmula da combinação de 8 elementos tomados 6 a 6:

C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]

C(8, 6) = 8!/[6!.(8 - 6)!]

C(8, 6) = 8!/(6!.2!)

C(8, 6) = 8.7.6!/(6!.2!)

C(8, 6) = 8.7/2

C(8, 6) = 4.7

C(8, 6) = 28

 

Então podemos formar 28 misturas de 6 elementos com os 8 elementos fora A e B.

 

Para saber o total de misturas temos que somar os itens 1), 2) e 3), que são todas as associações possíveis:

56 + 56 + 28 = 140