Análise Combinatória

Fácil 

2) Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 alunos será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?

a) 30.240     b) 594     c) 462     d) 408     e) 372 

Resolução: 

Há duas possibilidades que temos que analisar:

1) os dois irmãos viajam

2) os dois irmãos não viajam

 

1) Se os dois irmãos viajam, só faltam 3 alunos para completar. Então fora os dois irmãos, temos que escolher 3 alunos entre os 10 que sobraram, pois eram 12 e os dois irmãos não entram mais. Então vamos calcular o número de subconjuntos de 3 elementos que podemos formar com um conjunto de 10 elementos, que é o número de combinações de 10 elementos tomados 3 a 3:

= C(10, 3)

= 10! / 3!.(10 - 3)!

= 10! / 3!.7!

= 10.9.8.7! / 3!.7!

= 10.9.8 / 3!

= 10.9.8 / 3.2

= 10.9.4 / 3

= 10.3.4

= 120

 

2) Se os dois irmãos não viajam, temos então que escolher 5 pessoas entre as 10 que sobraram. Que é uma combinação de 10 elementos tomados 5 a 5:

= C(10, 5)

= 10!/5!.5!

= 10.9.8.7.6.5!/5!.5.4.3.2

= 10.9.8.7.6/5.4.3.2

= 10.9.8.7/5.4

= 10.9.2.7/5

= 2.9.2.7

= 252

 

Então o total de maneiras que podemos ter é a soma dos dois casos, com os irmãos viajando ou não:

120 + 252 = 372