Quando escrevemos um n\u00famero numa base “b”, para escrevermos esse n\u00famero na base decimal, temos que ir multiplicando cada algarismo por uma pot\u00eancia de “b”, assim, se tivermos 103 na base b = 4, na base decimal este n\u00famero ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n
= 1.4\u00b2 + 0.4\u00b9 + 3.4^0<\/p>\n\n\n\n
= 1.16 + 0.4 + 3.1<\/p>\n\n\n\n
= 16 + 0 + 3<\/p>\n\n\n\n
= 19<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o, na base “b”, o n\u00famero M = 14641 \u00e9 escrito assim:<\/p>\n\n\n\n
M = 1.b^4 + 4.b\u00b3 + 6.b\u00b2 + 4.b + 1<\/p>\n\n\n\n
M = b^4 + 4b\u00b3 + 6b\u00b2 + 4b + 1<\/p>\n\n\n\n
Mas isso, se voc\u00ea lembrar, \u00e9 o desenvolvimento de (b + 1)^4:<\/p>\n\n\n\n
M = b^4 + 4b\u00b3 + 6b\u00b2 + 4b + 1<\/p>\n\n\n\n
M = (b + 1)^4<\/p>\n\n\n\n
M = [(b + 1)\u00b2]\u00b2<\/p>\n\n\n\n
Que \u00e9 um quadrado perfeito, pois \u00e9 o quadrado de (b + 1)\u00b2 (isso na base decimal). Para representarmos raiz(M) na base (b + 1), temos que escrev\u00ea-la em fun\u00e7\u00e3o das pot\u00eancias de (b + 1), ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
M = (b + 1)^4<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = raiz[(b + 1)^4]<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = (b + 1)\u00b2<\/p>\n\n\n\n
Achando a raiz de M falta escrev\u00ea-la como soma de pot\u00eancias de (b + 1):<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = (b + 1)\u00b2<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = 1.(b + 1)\u00b2 + 0.(b + 1)\u00b9 + 0.(b + 1)^0<\/p>\n\n\n\n
Ent\u00e3o, na base (b + 1), escrevemos raiz(M) pegando os coeficientes das pot\u00eancias de (b + 1), que s\u00e3o nessa ordem: 1, 0 e 0.<\/p>\n\n\n\n
Resposta: raiz(M) = 100 (base b+1)<\/p>\n\n\n\n
Para voc\u00ea compreender melhor, experimente fazer b = 3 e escreva M na base 3:<\/p>\n\n\n\n
M = b^4 + 4b\u00b3 + 6b\u00b2 + 4b + 1<\/p>\n\n\n\n
M = 3^4 + 4.3\u00b3 + 6.3\u00b2 + 4.3 + 1<\/p>\n\n\n\n
M = 256<\/p>\n\n\n\n
M = 16\u00b2 (quadrado perfeito)<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = 16<\/p>\n\n\n\n
Na base (b + 1) = 3 + 1 = 4<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = 16<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = 1.4\u00b2 + 0.4\u00b9 + 0.4^0<\/p>\n\n\n\n
raiz(M) = 100 (base 4) <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[29],"class_list":["post-95","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/95","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=95"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/95\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":96,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/95\/revisions\/96"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=95"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=95"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=95"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}