{"id":90,"date":"2020-03-23T15:54:24","date_gmt":"2020-03-23T18:54:24","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=90"},"modified":"2020-03-23T16:04:18","modified_gmt":"2020-03-23T19:04:18","slug":"qual-e-o-resto-da-divisao-de-3%e2%81%b5%e2%81%b0-por-4","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/qual-e-o-resto-da-divisao-de-3%e2%81%b5%e2%81%b0-por-4\/","title":{"rendered":"2) Qual \u00e9 o resto da divis\u00e3o de 3\u2075\u2070 por 4?"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Para resolvermos isso podemos lembrar do desenvolvimento dos bin\u00f4mios. Onde eu escrever (n   p) \u00e9 o n\u00famero binomial n, p que vale n!\/[p!.(n-p)!]:<\/p>\n\n\n\n

(x – a)n<\/sup> = (n   0).xn<\/sup> – (n   1)x(n-1)<\/sup>.a + (n   2).x(n-2)<\/sup>.a\u00b2 – … + (n   n-2).x\u00b2.a(n-2)<\/sup> – (n   n-1).x.a(n-1)<\/sup> + (n   n).an<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Os expoentes de x v\u00e3o sempre diminuindo at\u00e9 que no \u00faltimo termo n\u00e3o temos x porque ele ficou elevado a zero. E os expoentes de “a” v\u00e3o aumentando at\u00e9 chegar a n. O que isso tem a ver com o problema? \u00c9 que podemos escrever 3 como 4 – 1 e ficaremos com:<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070<\/p>\n\n\n\n

Podemos ent\u00e3o considerar 4 como sendo x do bin\u00f4mio e 1 como sendo “a”. Fazendo o desenvolvimento desse bin\u00f4mio temos:<\/p>\n\n\n\n

(x – a)n<\/sup> = (n   0).xn<\/sup> – (n   1)x(n-1)<\/sup>.a + … – (n   n-1).x.a(n-1)<\/sup> + (n   n).an<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = (50   0).4\u2075\u2070 – (50   1)4\u2074\u2079.1 + … – (50   49).4.1\u2074\u2079 + (50   50).1\u2075\u2070<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = (50   0).4\u2075\u2070 – (50   1)4\u2074\u2079 + … – (50   49).4 + (50   50)<\/p>\n\n\n\n

Mas como todos os termos, a n\u00e3o ser o \u00faltimo possuem um fator 4, podemos colocar o 4 em evid\u00eancia em todos os termos menos no \u00faltimo:<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = (50   0).4\u2075\u2070 – (50   1)4\u2074\u2079 + … – (50   49).4 + (50   50)<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = 4.[(50   0).4\u2074\u2079 – (50   1)4\u2074\u2078 + … – (50   49)] + (50   50)<\/p>\n\n\n\n

Agora vamos calcular (50   50), que pela f\u00f3rmula \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

(n   p) = n!\/[p!.(n-p)!]<\/p>\n\n\n\n

(50   50) = 50!\/(50!.0!)<\/p>\n\n\n\n

(50   50) = 50!\/(50!.1)<\/p>\n\n\n\n

(50   50) = 1<\/p>\n\n\n\n

E como o que est\u00e1 dentro dos colchetes \u00e9 a soma e diferen\u00e7a de n\u00fameros inteiros, podemos dizer que essa soma vale K (K \u00e9 um n\u00famero inteiro) e escrevemos o seguinte:<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = 4.[(50   0).4\u2074\u2079 – (50   1)4\u2074\u2078 + … – (50   49)] + (50   50)<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = 4.[(50   0).4\u2074\u2079 – (50   1)4\u2074\u2078 + … – (50   49)] + 1<\/p>\n\n\n\n

(4 – 1)\u2075\u2070 = 4.K + 1<\/p>\n\n\n\n

3\u2075\u2070 = 4K + 1<\/p>\n\n\n\n

Se dividirmos 4K + 1 por quatro, como 4K \u00e9 m\u00faltiplo de 4, teremos resto 1.<\/p>\n\n\n\n

Resposta: 3\u2075\u2070 dividido por 4 deixa resto 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[27],"class_list":["post-90","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=90"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":91,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90\/revisions\/91"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=90"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=90"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=90"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}