{"id":694,"date":"2020-03-29T18:13:45","date_gmt":"2020-03-29T21:13:45","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=694"},"modified":"2026-01-20T21:44:12","modified_gmt":"2026-01-21T00:44:12","slug":"demonstre-que-todo-triangulo-abc-cujos-angulos-verificam-a-relacao-sen-3asen-3bsen-3c0-tem-um-angulo-de-60","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/demonstre-que-todo-triangulo-abc-cujos-angulos-verificam-a-relacao-sen-3asen-3bsen-3c0-tem-um-angulo-de-60\/","title":{"rendered":"4) Demonstre que todo tri\u00e2ngulo ABC cujos \u00e2ngulos verificam a rela\u00e7\u00e3o sen 3A + sen 3B + sen 3C = 0 t\u00eam um \u00e2ngulo de 60\u00b0."},"content":{"rendered":"\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n<p>Lembre-se que n\u00e3o podemos usar o fato de um dos \u00e2ngulos ser igual a 60\u00b0, temos que concluir isso a partir da equa\u00e7\u00e3o dada e de que a soma dos tr\u00eas \u00e2ngulos do tri\u00e2ngulo \u00e9 180\u00b0.<\/p>\n\n\n\n<p>Primeiro vou usar a f\u00f3rmula de transforma\u00e7\u00e3o da soma de dois senos em produto:<br>sen 3A + sen 3B + sen 3C = 0<br>2.{sen [(3A + 3B)\/2]}.{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + sen 3C = 0<\/p>\n\n\n\n<p>Agora como A + B + C = 180\u00b0, podemos multiplicar tudo por 3:<br>A + B + C = 180\u00b0<br>3A + 3B + 3C = 540\u00b0<br>3A + 3B = 540\u00b0 &#8211; 3C, dividindo por 2,<br>(3A + 3B)\/2 = 270\u00b0 &#8211; 3C\/2, tirando o seno,<br>sen [(3A + 3B)\/2] = sen (270\u00b0 &#8211; 3C\/2)<br>sen [(3A + 3B)\/2] = (sen 270\u00b0).(cos 3C\/2) &#8211; (cos 270\u00b0).(sen 3C\/2)<br>sen [(3A + 3B)\/2] = (-1).(cos 3C\/2) &#8211; (0).(sen 3C\/2)<br>sen [(3A + 3B)\/2] = -cos 3C\/2<\/p>\n\n\n\n<p>Colocando na equa\u00e7\u00e3o:<br>2.{sen [(3A + 3B)\/2]}.{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + sen 3C = 0<br>2.(-cos 3C\/2).{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + sen 3C = 0<br>-2.(cos 3C\/2).{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + sen 3C = 0<\/p>\n\n\n\n<p>E tamb\u00e9m vamos usar o seno do arco duplo:<br>sen 3C = sen 2.(3C\/2)<br>sen 3C = 2.(sen 3C\/2).(cos 3C\/2)<\/p>\n\n\n\n<p>Colocando na equa\u00e7\u00e3o:<br>-2.(cos 3C\/2).{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + sen 3C = 0<br>-2.(cos 3C\/2).{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + 2.(sen 3C\/2).(cos 3C\/2) = 0, simplificando por 2,<br>-(cos 3C\/2).{cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} + (sen 3C\/2).(cos 3C\/2) = 0, colocando cos 3C\/2 em evid\u00eancia,<br>(cos 3C\/2).{(sen 3C\/2) &#8211; cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} = 0<\/p>\n\n\n\n<p>E vamos usar agora que:<br>A + B + C = 180\u00b0<br>3A + 3B + 3C = 540\u00b0<br>3C = 540\u00b0 &#8211; (3A + 3B), dividindo por 2,<br>3C\/2 = 270\u00b0 &#8211; (3A + 3B)\/2, tirando o seno,<br>sen 3C\/2 = sen [270\u00b0 &#8211; (3A + 3B)\/2]<br>sen 3C\/2 = (sen 270\u00b0).[cos (3A + 3B)\/2] &#8211; (cos 270\u00b0).[sen (3A + 3B)\/2]<br>sen 3C\/2 = (-1).[cos (3A + 3B)\/2] &#8211; (0).[sen (3A + 3B)\/2]<br>sen 3C\/2 = -cos [(3A + 3B)\/2]<\/p>\n\n\n\n<p>E colocando na equa\u00e7\u00e3o:<br>[cos (3C\/2)].{(sen 3C\/2) &#8211; cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} = 0<br>[cos (3C\/2)].{-cos [(3A + 3B)\/2] &#8211; cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} = 0, multiplica por -1,<br>[cos (3C\/2)].{cos [(3A + 3B)\/2] + cos [(3A &#8211; 3B)\/2]} = 0<br>[cos (3C\/2)].{cos [(3A\/2) + (3B\/2)] + cos [(3A\/2) &#8211; (3B\/2)]} = 0, usando as f\u00f3rmulas de soma e diferen\u00e7a do cosseno,<br>[cos (3C\/2)].{[cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)] &#8211; [sen (3A\/2)].[sen (3B\/2)] + [cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)] + [sen (3A\/2)].[sen (3B\/2)]} = 0<br>[cos (3C\/2)].{[cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)] + [cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)]} = 0<br>[cos (3C\/2)].{2.[cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)]} = 0<br>2.[cos (3C\/2)].[cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)] = 0, divide por 2,<br>[cos (3C\/2)].[cos (3A\/2)].[cos (3B\/2)] = 0<\/p>\n\n\n\n<p>Da\u00ed podemos concluir que a partir da equa\u00e7\u00e3o dada teremos obrigatoriamente que:<br>cos (3C\/2) = 0, ou<br>cos (3A\/2) = 0, ou<br>cos (3B\/2) = 0<\/p>\n\n\n\n<p>Mas se cos (3C\/2) = 0, temos:<br>cos (3C\/2) = 0<br>3C\/2 = pi\/2 ou 3C\/2 = 3pi\/2<br>3C = pi ou 3C = 3pi<br>C = pi\/3 ou C = pi<\/p>\n\n\n\n<p>Como C \u00e9 um \u00e2ngulo de um tri\u00e2ngulo, ele n\u00e3o pode ser igual a pi, ent\u00e3o a \u00fanica alternativa \u00e9 que:<br>C = pi\/3<\/p>\n\n\n\n<p>E se fizermos o mesmo com os outros \u00e2ngulos conclu\u00edmos que:<br>C = pi\/3, ou<br>A = pi\/3, ou<br>B = pi\/3<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto, esse tri\u00e2ngulo tem pelo menos um \u00e2ngulo de 60\u00b0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[30],"class_list":["post-694","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-trigonometria","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/694","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=694"}],"version-history":[{"count":2,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/694\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":704,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/694\/revisions\/704"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=694"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=694"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=694"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}