{"id":692,"date":"2020-03-29T18:11:58","date_gmt":"2020-03-29T21:11:58","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=692"},"modified":"2026-01-20T21:46:33","modified_gmt":"2026-01-21T00:46:33","slug":"provar-que-a-identidade-abaixo-e-valida-para-qualquer-triangulo-abc","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/provar-que-a-identidade-abaixo-e-valida-para-qualquer-triangulo-abc\/","title":{"rendered":"3) Provar que a identidade abaixo \u00e9 v\u00e1lida para qualquer tri\u00e2ngulo ABC: sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4.(sen A).(sen B).(sen C)"},"content":{"rendered":"\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n<p>Sendo A, B e C \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo qualquer, temos que A + B + C = 180\u00b0. Como para qualquer \u00e2ngulo x, temos:<br>sen 2x = 2.(sen x).(cos x)<\/p>\n\n\n\n<p>sen 2A + sen 2B + sen 2C = 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)<\/p>\n\n\n\n<p>Sabemos tamb\u00e9m que sen x = sen (180\u00b0 &#8211; x), ent\u00e3o como (B + C) = 180\u00b0 &#8211; A<br>sen A = sen (B + C)<br>sen B = sen (A + C)<br>sen C = sen (A + B)<\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o:<br>= 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)<br>= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)<\/p>\n\n\n\n<p>E agora usaremos sen (x + y) = (sen x).(cos y) + (sen y).(cos x):<br>= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)<br>= 2.[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)].(cos A) + 2.[(sen A).(cos C) + (sen C).(cos A)].(cos B) + 2.[(sen A).(cos B) + (sen B).(cos A)].(cos C)<br>= 2.(sen B).(cos C).(cos A) + 2.(sen C).(cos B).(cos A) + 2.(sen A).(cos C).(cos B) + 2.(sen C).(cos A).(cos B) + 2.(sen A).(cos B).(cos C) + 2.(sen B).(cos A).(cos C)<\/p>\n\n\n\n<p>Agrupando os termos iguais:<br>= 4.(sen B).(cos C).(cos A) + 4.(sen C).(cos B).(cos A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)<\/p>\n\n\n\n<p>Colocando cos A em evid\u00eancia nos dois primeiros termos:<br>= 4.(cos A).[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)<br>= 4.(cos A).[sen (B + C)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)<br>= 4.(cos A).(sen A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)<br>= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]<\/p>\n\n\n\n<p>Mas tamb\u00e9m sabemos que cos x = -cos (180\u00b0 &#8211; x). Assim temos:<br>cos A = -cos (B + C)<\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o:<br>= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]<br>= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]<\/p>\n\n\n\n<p>E agora usamos que cos (x + y) = (cos x).(cos y) &#8211; (sen x).(sen y):<br>= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]<br>= 4.(sen A).{-[(cos B).(cos C) &#8211; (sen B).(sen C)] + (cos C).(cos B)}<br>= 4.(sen A).[-(cos B).(cos C) + (sen B).(sen C) + (cos C).(cos B)]<br>= 4.(sen A).(sen B).(sen C)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[30],"class_list":["post-692","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-trigonometria","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/692","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=692"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/692\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":693,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/692\/revisions\/693"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=692"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=692"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=692"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}