{"id":688,"date":"2020-03-29T17:48:39","date_gmt":"2020-03-29T20:48:39","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=688"},"modified":"2026-01-20T21:46:45","modified_gmt":"2026-01-21T00:46:45","slug":"demonstre-que-se-a-b-c-sao-angulos-internos-de-um-triangulo","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/demonstre-que-se-a-b-c-sao-angulos-internos-de-um-triangulo\/","title":{"rendered":"1) Demonstre que, se A, B, C s\u00e3o \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo, vale a rela\u00e7\u00e3o: sen\u00b2 A + sen\u00b2 B + sen\u00b2 C = 2.[1 + (cos A)(cos B).(cos C)]"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

sen2<\/sup>\u00a0A + sen2<\/sup>\u00a0B + sen2<\/sup>\u00a0C = 2.[1 + (cos A)(cos B).(cos C)]<\/p>\n\n\n\n

Talvez haja um jeito mais simples de se resolver essa quest\u00e3o, mas isso foi o melhor que consegui. Vou partir do primeiro membro para tentar chegar ao segundo.
= sen2<\/sup> A + sen2<\/sup> B + sen2<\/sup> C<\/p>\n\n\n\n

Vou usar o seguinte:
Como A + B + C = 180\u00b0
A = 180\u00b0 – B + C
sen A = sen [180\u00b0 – (B + C)]
sen A = sen (B + C)<\/p>\n\n\n\n

E analogamente temos as outras rela\u00e7\u00f5es:
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o vou colocar isso na nossa express\u00e3o:
= sen2<\/sup> A + sen2<\/sup> B + sen2<\/sup> C
= [sen (B + C)]2<\/sup> + [sen (A + C)]2<\/sup> + [sen (A + B)]2<\/sup>
= [sen B.cos C + sen C.cos B]2<\/sup> + [sen A.cos C + sen C.cos A]2<\/sup> + [sen B.cos A + sen A.cos B]2<\/sup>
= sen2<\/sup> B.cos2<\/sup> C + 2.sen B.cos C.sen C.cos B + sen2<\/sup> C.cos2<\/sup> B + sen2<\/sup> A.cos2<\/sup> C + 2.sen A.cos C.sen C.cos A + sen2<\/sup> C.cos2<\/sup> A + sen2<\/sup> B.cos2<\/sup> A + 2.sen B.cos A.sen A.cos B + sen2<\/sup> A.cos2<\/sup> B<\/p>\n\n\n\n

Como isto est\u00e1 muito grande, vou fazer uma parte de cada vez. primeiro vou pegar apenas os 3 primeiros termos:
= sen2<\/sup> B.cos2<\/sup> C + 2.sen B.cos C.sen C.cos B + sen2<\/sup> C.cos2<\/sup> B
= sen2<\/sup> B.cos2<\/sup> C + sen B.cos C.sen C.cos B + sen B.cos C.sen C.cos B + sen2<\/sup> C.cos2<\/sup> B
= (sen B.cos C).(sen B.cos C + sen C.cos B) + (sen C.cos B).(sen C.cos B + sen B.cos C)
= (sen B.cos C).[sen (B + C)] + (sen C.cos B).[sen (B + C)], pelo que vimos antes,
= (sen B.cos C).(sen A) + (sen C.cos B).(sen A)
= sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A<\/p>\n\n\n\n

Fazendo o mesmo com os pr\u00f3ximos 3 termos, voc\u00ea ter\u00e1 a mesma coisa praticamente, s\u00f3 mudam as vari\u00e1veis:
= sen2<\/sup> A.cos2<\/sup> C + 2.sen A.cos C.sen C.cos A + sen2<\/sup> C.cos2<\/sup> A
= sen A.cos C.sen B + sen C.cos A.sen B<\/p>\n\n\n\n

E com os 3 \u00faltimos termos:
= sen2<\/sup> B.cos2<\/sup> A + 2.sen B.cos A.sen A.cos B + sen2<\/sup> A.cos2<\/sup> B
= sen A.cos B.sen C + sen B.cos A.sen C<\/p>\n\n\n\n

Juntando tudo novamente:
= sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A + sen A.cos C.sen B + sen C.cos A.sen B + sen A.cos B.sen C + sen B.cos A.sen C
= 2.sen B.cos C.sen A + 2.sen C.cos B.sen A + 2.sen C.cos A.sen B
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A + sen C.cos A.sen B)
= 2.[sen B.cos C.sen A + sen C.(cos B.sen A + cos A.sen B)]
= 2.{sen B.cos C.sen A + sen C.[sen (A + B)]}
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen C.sen C)
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen2<\/sup> C)<\/p>\n\n\n\n

Agora vem o pior! Veja s\u00f3 o que vamos usar:
cos (A + B) = cos A.cos B – sen A.sen B
sen A.sen B = cos A.cos B – cos (A + B)<\/p>\n\n\n\n

Agora vejamos o que \u00e9 cos(A + B):
A + B + C = 180\u00b0
A + B = 180\u00b0 – C
cos (A + B) = cos (180\u00b0 – C)
cos (A + B) = cos 180\u00b0.cos C + sen 180\u00b0. sen C
cos (A + B) = (-1).cos C + 0. sen C
cos (A + B) = -cos C<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, juntando essas duas rela\u00e7\u00f5es:
sen A.sen B = cos A.cos B – cos (A + B)
sen A.sen B = cos A.cos B – (-cos C)
sen A.sen B = cos A.cos B + cos C<\/p>\n\n\n\n

E colocando isso na equa\u00e7\u00e3o:
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen2<\/sup> C)
= 2.(cos C.sen A.sen B + sen2<\/sup> C)
= 2.[cos C.(cos A.cos B + cos C) + sen2<\/sup> C]
= 2.(cos C.cos A.cos B + cos2<\/sup> C + sen2<\/sup> C)
= 2.(cos C.cos A.cos B + 1)
= 2.(1 + cos C.cos A.cos B)
= segundo membro<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[30],"class_list":["post-688","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-trigonometria","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/688","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=688"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/688\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":689,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/688\/revisions\/689"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=688"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=688"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=688"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}