{"id":686,"date":"2020-03-29T17:45:33","date_gmt":"2020-03-29T20:45:33","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=686"},"modified":"2026-01-20T21:46:52","modified_gmt":"2026-01-21T00:46:52","slug":"sendo-sen-x-sen-y2senx-y-2-cosxy-2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/sendo-sen-x-sen-y2senx-y-2-cosxy-2\/","title":{"rendered":"3) Sendo: sen x – sen y = 2.sen [(x – y)\/2]. cos [(x + y)\/2]"},"content":{"rendered":"\n

E lembrando que:
|sen z| <= |z|
|cos t| <= 1
|a.b| = |a|.|b| <\/p>\n\n\n\n

Compare |sen x – sen y| e |x – y| com x e y n\u00fameros reais quaisquer.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Queremos comparar |sen x – sen y| com |x – y|, ent\u00e3o vamos seguir as recomenda\u00e7\u00f5es do problema e come\u00e7ar da f\u00f3rmula:
sen x – sen y = 2.sen [(x – y)\/2]. cos [(x + y)\/2]<\/p>\n\n\n\n

Colocando o m\u00f3dulo dos dois lados da igualdade:
sen x – sen y = 2.sen [(x – y)\/2]. cos [(x + y)\/2]
|sen x – sen y| = |2.sen [(x – y)\/2]. cos [(x + y)\/2]|<\/p>\n\n\n\n

Da propriedade |a.b| = |a|.|b|, podemos ver que isso vale tamb\u00e9m para 3 n\u00fameros:
|a.b| = |a|.|b|, fazendo b = c.d,
|a.c.d| = |a|.|c.d|, e como |c.d| = |c|.|d|,
|a.c.d| = |a|.|c|.|d|<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o podemos desmembrar o produto do 2\u00ba membro:
|sen x – sen y| = |2.sen [(x – y)\/2]. cos [(x + y)\/2]|
|sen x – sen y| = |2|.|sen [(x – y)\/2]|.|cos [(x + y)\/2]|
|sen x – sen y| = 2.|sen [(x – y)\/2]|.|cos [(x + y)\/2]|<\/p>\n\n\n\n

Como |cos t| <= 1, esse produto ficar\u00e1 menor ou igual a:
|sen x – sen y| = 2.|sen [(x – y)\/2]|.|cos [(x + y)\/2]|
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)\/2]|.1
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)\/2]|<\/p>\n\n\n\n

Usando a outra propriedade, |sen z| <= |z|:
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)\/2]| <= 2.|(x – y)\/2|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)\/2|<\/p>\n\n\n\n

E podemos escrever (x – y)\/2 assim: (x – y).(1\/2),
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)\/2|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y).(1\/2)|<\/p>\n\n\n\n

E podemos usar novamente |a.b| = |a|.|b|:
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y).(1\/2)|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)|.|(1\/2)|
|sen x – sen y| <= 2.|x – y|.(1\/2)
|sen x – sen y| <= |x – y|<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

E lembrando que: |sen z| <= |z| |cos t| <= 1 |a.b| = |a|.|b| Compare |sen x – sen y| e |x – y| com x e y n\u00fameros reais quaisquer.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[29],"class_list":["post-686","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-trigonometria","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/686","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=686"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/686\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":687,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/686\/revisions\/687"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=686"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=686"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=686"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}