{"id":680,"date":"2020-03-29T17:06:57","date_gmt":"2020-03-29T20:06:57","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=680"},"modified":"2026-01-20T21:47:06","modified_gmt":"2026-01-21T00:47:06","slug":"demonstrar-que-em-todo-triangulo-retangulo-abc-subsiste-a-dupla-desigualdade","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/demonstrar-que-em-todo-triangulo-retangulo-abc-subsiste-a-dupla-desigualdade\/","title":{"rendered":"1) Demonstrar que em todo triangulo ret\u00e2ngulo ABC subsiste a dupla desigualdade: 2\/5 < r\/h(a) < 1\/2. Sendo r o raio da circunfer\u00eancia inscrita ao tri\u00e2ngulo e h(a) a altura relativa \u00e0 hipotenusa \"a\"."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Seja o raio “r” do c\u00edrculo inscrito e os catetos de medidas “b” e “c” temos que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo pode ser calculada pela f\u00f3rmula de (base x altura)\/2:<\/p>\n\n\n\n

\u00c1rea do tri\u00e2ngulo = b.c\/2<\/p>\n\n\n\n

Mas tamb\u00e9m temos a f\u00f3rmula da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo em fun\u00e7\u00e3o do raio da circunfer\u00eancia inscrita e do semi per\u00edmetro (p):<\/p>\n\n\n\n

\u00c1rea do tri\u00e2ngulo = r.p<\/p>\n\n\n\n

\u00c1rea do tri\u00e2ngulo = r.(a + b + c)\/2<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o igualando as duas \u00e1reas:<\/p>\n\n\n\n

b.c\/2 = r.(a + b + c)\/2<\/p>\n\n\n\n

b.c = r.(a + b + c)<\/p>\n\n\n\n

Al\u00e9m disso, h\u00e1 tamb\u00e9m uma propriedade do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que diz que o produto da hipotenusa pela altura relativa \u00e0 hipotenusa \u00e9 igual ao produto dos catetos:<\/p>\n\n\n\n

a.h(a) = b.c<\/p>\n\n\n\n

E assim, podemos colocar isso na nossa equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

b.c = r.(a + b + c)<\/p>\n\n\n\n

a.h(a) = r.(a + b + c)<\/p>\n\n\n\n

a\/(a + b + c) = r\/h(a)<\/p>\n\n\n\n

Agora resta achar os valores m\u00e1ximo e m\u00ednimo de r\/h(a). Vendo essa equa\u00e7\u00e3o, voc\u00ea sabe que a raz\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

a\/(a + b + c)<\/p>\n\n\n\n

ser\u00e1 m\u00ednima quando o denominador for m\u00e1ximo e ser\u00e1 m\u00e1xima quando o denominador for m\u00ednimo. Ent\u00e3o fazemos “a” constante para ver quando (b + c) \u00e9 m\u00e1ximo e m\u00ednimo. Assim, r\/h(a) \u00e9 m\u00e1ximo quando (b + c) for m\u00ednimo e vice e versa.<\/p>\n\n\n\n

Agora o problema trata-se de achar os valores m\u00e1ximo e m\u00ednimo de (b + c). Como estamos num tri\u00e2ngulo sabemos que a soma de dois lados quaisquer devem ser no m\u00ednimo maiores que o terceiro lado, ou seja:<\/p>\n\n\n\n

b + c > a<\/p>\n\n\n\n

E colocando isso na nossa desigualdade teremos o valor m\u00e1ximo de r\/h(a). Como b + c tem “a” como valor m\u00ednimo, se colocarmos o valor m\u00ednimo de b + c no denominador da desigualdade, a raz\u00e3o assume valor m\u00e1ximo:<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) = a\/(a + b + c) < a\/(a + a)<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) < a\/(a + a)<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) < a\/2a<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) < 1\/2<\/p>\n\n\n\n

* ver observa\u00e7\u00e3o abaixo<\/p>\n\n\n\n

Agora para acharmos o valor m\u00ednimo de r\/h(a), precisamos do valor m\u00e1ximo de (b + c). Como temos um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, sabemos que b2<\/sup> + c2<\/sup> = a2<\/sup>. Ent\u00e3o podemos fazer:<\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + c2<\/sup> = a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + 2bc + c2<\/sup> = a2<\/sup> + 2bc<\/p>\n\n\n\n

(b + c)2<\/sup> = a2<\/sup> + 2bc<\/p>\n\n\n\n

b + c = raiz(a2<\/sup> + 2bc)<\/p>\n\n\n\n

E sabemos que (b + c) ser\u00e1 m\u00e1ximo quando bc for m\u00e1ximo, j\u00e1 que “a” est\u00e1 constante. Ent\u00e3o precisamos ter s\u00f3 b ou s\u00f3 c numa express\u00e3o para achar seu valor m\u00e1ximo. Isolando b em fun\u00e7\u00e3o de c no teorema de Pit\u00e1goras:<\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + c2<\/sup> = a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> = a2<\/sup> – c2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b = raiz(a2<\/sup> – c2<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

Agora fazendo bc:<\/p>\n\n\n\n

bc = raiz(a2<\/sup> – c2<\/sup>) . c<\/p>\n\n\n\n

bc = raiz(a2<\/sup>.c2<\/sup> – c4<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n

E agora bc ter\u00e1 valor m\u00e1ximo quando a2<\/sup>.c2<\/sup> – c4<\/sup> for m\u00e1ximo. Transformando isso numa fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, fazemos x = c2<\/sup>  e achamos o valor m\u00e1ximo que \u00e9 o v\u00e9rtice:<\/p>\n\n\n\n

= a2<\/sup>.c2<\/sup> – c4<\/sup><\/p>\n\n\n\n

= a2<\/sup>x – x2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Que tem valor m\u00ednimo para o x do v\u00e9rtice (lembre de -b\/2a):<\/p>\n\n\n\n

x = -(a2<\/sup>)\/2.(-1)<\/p>\n\n\n\n

x = a2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

E como x = c2<\/sup>:<\/p>\n\n\n\n

x = a2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

c2<\/sup> = a2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

c = a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

Para acharmos o valor de b, usamos agora o teorema de Pit\u00e1goras de novo:<\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + c2<\/sup> = a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + [a\/raiz(2)]2<\/sup> = a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> + a2<\/sup>\/2 = a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> = a2<\/sup> – a2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

b2<\/sup> = a2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

b = a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o vimos que r\/h(a) ter\u00e1 valor m\u00ednimo quando b = c = a\/raiz(2). Colocando na desigualdade:<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) = a\/(a + b + c) > a\/[a + a\/raiz(2) + a\/raiz(2)]<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > a\/[a + a\/raiz(2) + a\/raiz(2)]<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > a\/[a + 2a\/raiz(2)]<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > a\/[a + 2a.raiz(2)\/2]<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > a\/[a + a.raiz(2)]<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > a\/{a.[1 + raiz(2)]}<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > 1\/[1 + raiz(2)], racionalizando,<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > [raiz(2) – 1]\/(2 – 1)<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > raiz(2) – 1<\/p>\n\n\n\n

E como sabemos que raiz(2) \u00e9 aproximadamente 1,414:<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > raiz(2) – 1<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > 1,414 – 1<\/p>\n\n\n\n

r\/h(a) > 0,414 > 0,4 = 2\/5<\/p>\n\n\n\n

E temos agora as duas partes da desigualdade que o problema pediu:<\/p>\n\n\n\n

2\/5 < r\/h(a) < 1\/2, como quer\u00edamos demonstrar.<\/p>\n\n\n\n

*** Para achar que b = c = a\/raiz(2), voc\u00ea poderia ter feito de outra forma tamb\u00e9m usando a desigualdade entre as m\u00e9dias geom\u00e9trica e aritm\u00e9tica de “b” e “c”, que \u00e9 a seguinte:<\/p>\n\n\n\n

raiz(bc) <= (b + c)\/2, com igualdade b = c.<\/p>\n\n\n\n

Ou seja:<\/p>\n\n\n\n

bc <= (b + c)2<\/sup>\/4<\/p>\n\n\n\n

(b + c)2<\/sup> = a2<\/sup> + 2bc <= a2<\/sup> + (b + c)2<\/sup>\/2<\/p>\n\n\n\n

(b + c)2<\/sup> <= 2a2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(b + c) <= a.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

Agora pegamos o m\u00e1ximo da soma para achar os valores de b e c:<\/p>\n\n\n\n

b + c = a.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

b = a.raiz(2) – c<\/p>\n\n\n\n

Como vimos que bc tem que ser m\u00e1ximo:<\/p>\n\n\n\n

bc = [a.raiz(2) – c].c<\/p>\n\n\n\n

bc = ac.raiz(2) – c2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

bc = -c2<\/sup> + a.raiz(2).c<\/p>\n\n\n\n

Que tem valor m\u00e1ximo no v\u00e9rtice (-b\/2a):<\/p>\n\n\n\n

c = -[a.raiz(2)]\/2.(-1)<\/p>\n\n\n\n

c = -[a.raiz(2)]\/(-2)<\/p>\n\n\n\n

c = a.raiz(2)\/2<\/p>\n\n\n\n

Multiplicando o numerador e o denominador por raiz(2):<\/p>\n\n\n\n

c = a.raiz(2)\/2<\/p>\n\n\n\n

c = a.2\/2.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

c = a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

E assim voc\u00ea acha o valor de b tamb\u00e9m:<\/p>\n\n\n\n

b + c = a.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

b + a\/raiz(2) = a.raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

b = a.raiz(2) – a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

b = a.2\/raiz(2) – a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

b = a\/raiz(2)<\/p>\n\n\n\n

E resumindo:<\/p>\n\n\n\n

b = c = a\/raiz(2)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[30],"class_list":["post-680","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-triangulos","tag-insano"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/680","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=680"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/680\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":681,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/680\/revisions\/681"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=680"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=680"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=680"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}