{"id":678,"date":"2020-03-29T17:04:53","date_gmt":"2020-03-29T20:04:53","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=678"},"modified":"2026-01-20T21:47:12","modified_gmt":"2026-01-21T00:47:12","slug":"provar-que-a-area-de-um-triangulo-retangulo-e-igual-ao-produto-dos-raios-das-duas-circunferencias-ex-inscritas-que-sao-tangentes-aos-catetos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/provar-que-a-area-de-um-triangulo-retangulo-e-igual-ao-produto-dos-raios-das-duas-circunferencias-ex-inscritas-que-sao-tangentes-aos-catetos\/","title":{"rendered":"3) Provar que a \u00e1rea de um triangulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual ao produto dos raios das duas circunfer\u00eancias ex-inscritas que s\u00e3o tangentes aos catetos."},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Circunfer\u00eancia ex-inscrita \u00e9 a circunfer\u00eancia tangente a um dos lados e aos prolongamentos dos outros dois.<\/p>\n\n\n\n

Podemos calcular os raios das circunfer\u00eancias ex-inscritas utilizando a f\u00f3rmula da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo que usa o raio da circunfer\u00eancia ex-inscrita:<\/p>\n\n\n\n

S = (p – b).r(b)<\/p>\n\n\n\n

S = (p – c).r(c)<\/p>\n\n\n\n

Onde p \u00e9 o semi-per\u00edmetro, b e c os catetos, r(b) e r(c) os raios das circunfer\u00eancias ex-inscritas que tangenciam os catetos b e c, respectivamente.<\/p>\n\n\n\n

Multiplicando as duas equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n

S2<\/sup> = (p – b).r(b).(p – c).r(c)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = S2<\/sup>\/(p – b).(p – c)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/(2p – 2b).(2p – 2c)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/(a + b + c – 2b).(a + b + c – 2c)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/(a – b + c).(a + b – c)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/[a – (b – c)].[a + (b – c)]<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/[a2<\/sup> – (b – c)2<\/sup>]<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S\u00b2\/[a2<\/sup> – (b2<\/sup> + c2<\/sup>) + 2bc]<\/p>\n\n\n\n

Como o tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo, a2<\/sup> = b2<\/sup> + c2<\/sup>:<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/(a2<\/sup> – a2<\/sup> + 2bc)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/2bc<\/p>\n\n\n\n

No tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo podemos calcular a \u00e1rea S = bc\/2, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/2bc<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/2.(2S)<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = 4S2<\/sup>\/4S<\/p>\n\n\n\n

r(b).r(c) = S<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[29],"class_list":["post-678","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-triangulos","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/678","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=678"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/678\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":679,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/678\/revisions\/679"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=678"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=678"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=678"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}