{"id":472,"date":"2020-03-28T21:41:27","date_gmt":"2020-03-29T00:41:27","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=472"},"modified":"2020-03-28T21:41:27","modified_gmt":"2020-03-29T00:41:27","slug":"seja-an-uma-progressao-geometrica-de-1o-termo-a11-e-razao-q%c2%b2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/seja-an-uma-progressao-geometrica-de-1o-termo-a11-e-razao-q%c2%b2\/","title":{"rendered":"1) Seja An uma progress\u00e3o geom\u00e9trica de 1\u00ba termo A1 = 1 e raz\u00e3o q\u00b2, onde q \u00e9 um n\u00famero inteiro maior que 1. Seja Bn uma progress\u00e3o geom\u00e9trica cuja raz\u00e3o \u00e9 q. Sabe-se que A11 = B17. Neste caso:"},"content":{"rendered":"\n

a) Ache B1<\/sub>\u00a0em fun\u00e7ao de q. <\/p>\n\n\n\n

b) Existe algum valor An\u00a0<\/sub>= Bn<\/sub>? <\/p>\n\n\n\n

c) Que condi\u00e7\u00e3o n e x devem satisfazer para que An <\/sub>= Bx<\/sub>?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Sabemos que o termo geral de uma PG \u00e9 sempre o primeiro termo vezes a raz\u00e3o elevado a n – 1. Como An<\/sub> tem primeiro termo 1 e raz\u00e3o q2<\/sup>, podemos escrever seu termo geral:<\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = 1.(q2<\/sup>)n-1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = (q2<\/sup>)n-1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = q2n – 2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 Bn<\/sub> n\u00e3o sabemos o primeiro termo, mas sabemos que a raz\u00e3o \u00e9 q. Digamos que o primeiro termo seja b, podemos escrever o termo geral de Bn<\/sub> como o produto do primeiro termo (b) pela raz\u00e3o (q) elevada a n – 1:<\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = b.qn – 1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

a) O problema pede B1<\/sub>, que chamei de b. Como ele diz que A11<\/sub> = B17<\/sub>, vamos encontrar cada um e igual\u00e1-los:<\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = q2n – 2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

A11<\/sub> = q2.11 – 2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

A11<\/sub> = q22 – 2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

A11<\/sub> = q20<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = b.qn – 1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

B17<\/sub> = b.q17 – 1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

B17<\/sub> = b.q16<\/sup><\/p>\n\n\n\n

A11<\/sub> = B17<\/sub><\/p>\n\n\n\n

q20<\/sup> = b.q16<\/sup><\/p>\n\n\n\n

(q20<\/sup>)\/(q16<\/sup>) = b<\/p>\n\n\n\n

q4<\/sup> = b<\/p>\n\n\n\n

b = q4<\/sup><\/p>\n\n\n\n

B1<\/sub> = q4<\/sup><\/p>\n\n\n\n

b) Agora que sabemos quem \u00e9 b, podemos achar o termo geral de Bn<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = b.qn – 1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = q4<\/sup>.qn – 1<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = qn – 1 + 4<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = qn + 3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Para saber se existe algum termo An<\/sub> = Bn<\/sub>, vamos igualar An<\/sub> com Bn<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = Bn<\/sub><\/p>\n\n\n\n

q2n – 2<\/sup> = qn + 3<\/sup>, os expoentes devem ser iguais,<\/p>\n\n\n\n

2n – 2 = n + 3<\/p>\n\n\n\n

2n – n = 3 + 2<\/p>\n\n\n\n

n = 5<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o conclu\u00edmos que A5<\/sub> = B5<\/sub> (os quintos termos das duas PGs s\u00e3o iguais)<\/p>\n\n\n\n

c) Nesse item temos An<\/sub> = Bx<\/sub>, repare que \u00e9 quase igual ao item b, s\u00f3 que no item b t\u00ednhamos o mesmo valor de n para as duas sequ\u00eancias. Agora s\u00e3o termos diferentes, por exmplo, o 10\u00ba termo de uma PG \u00e9 igual ao 5\u00ba termo da outra.<\/p>\n\n\n\n

Para resolver isso, faremos a mesma coisa que antes, igualando as duas equa\u00e7\u00f5es, substituindo n e x em An<\/sub> e Bx<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = q2n – 2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bn<\/sub> = qn + 3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Bx<\/sub> = qx + 3<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Igualando:<\/p>\n\n\n\n

An<\/sub> = Bx<\/sub><\/p>\n\n\n\n

q2n – 2<\/sup> = qx + 3<\/sup>, os expoentes devem ser iguais,<\/p>\n\n\n\n

2n – 2 = x + 3<\/p>\n\n\n\n

2n – 2 – 3 = x<\/p>\n\n\n\n

2n – 5 = x<\/p>\n\n\n\n

x = 2n – 5<\/p>\n\n\n\n

Como n e x s\u00e3o n\u00fameros inteiros maiores que zero, pois s\u00e3o os termos da PG, temos que:<\/p>\n\n\n\n

x > 0<\/p>\n\n\n\n

2n – 5 > 0<\/p>\n\n\n\n

2n > 5<\/p>\n\n\n\n

n > 5\/2<\/p>\n\n\n\n

n > 2,5<\/p>\n\n\n\n

n >= 3<\/p>\n\n\n\n

E repare que como x = 2n – 5, x ter\u00e1 que ser sempre \u00edmpar, pois 2n \u00e9 um n\u00famero par e ao tirarmos 5 dele, teremos um n\u00famero \u00edmpar.<\/p>\n\n\n\n

Resposta: x = 2n – 5, onde x \u00e9 um n\u00famero inteiro positivo \u00edmpar e n \u00e9 um inteiro positivo maior ou igual a 3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

a) Ache B1\u00a0em fun\u00e7ao de q. b) Existe algum valor An\u00a0= Bn? c) Que condi\u00e7\u00e3o n e x devem satisfazer para que An = Bx?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[20],"tags":[29],"class_list":["post-472","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-progressao-geometrica","tag-dificil"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=472"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":473,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/472\/revisions\/473"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=472"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=472"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=472"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}