{"id":446,"date":"2020-03-28T15:46:21","date_gmt":"2020-03-28T18:46:21","guid":{"rendered":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/?p=446"},"modified":"2020-03-28T15:46:21","modified_gmt":"2020-03-28T18:46:21","slug":"um-estudante-estava-praticando-a-sua-aritmetica-adicionando-os-numeros-das-paginas-do-seu-livro","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/um-estudante-estava-praticando-a-sua-aritmetica-adicionando-os-numeros-das-paginas-do-seu-livro\/","title":{"rendered":"3) Um estudante estava praticando a sua aritm\u00e9tica adicionando os n\u00fameros das paginas do seu livro de matem\u00e1tica quando algu\u00e9m o interrompeu. Ao retomar o exerc\u00edcio ele inadvertidamente incluiu o n\u00famero de uma das p\u00e1ginas duas vezes na sua soma, tendo encontrado 1986 como resultado. Qual o n\u00famero dessa pagina?"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/h2>\n\n\n\n

Voc\u00ea tem que perceber que como ele est\u00e1 somando as p\u00e1ginas de um livro, supomos que ele come\u00e7a a somar:<\/p>\n\n\n\n

1 + 2 + 3 + 4 + …<\/p>\n\n\n\n

Isso \u00e9 a soma de uma PA de 1\u00ba termo a1<\/sub> = 1 e raz\u00e3o r = 1. A\u00ed, sabemos que a soma dele deu 1986, mas teve uma p\u00e1gina a mais. Ent\u00e3o se fizermos a soma da PA do 1 at\u00e9 um n\u00famero “n”, tal que essa soma seja menor que 1986, saberemos quantos n\u00fameros foram somados e a diferen\u00e7a da soma desses n\u00fameros para 1986 \u00e9 o que foi somado a mais.<\/p>\n\n\n\n

Vejamos a soma da PA at\u00e9 o termo n:<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = (a1<\/sub> + an<\/sub>).n\/2<\/p>\n\n\n\n

onde Sn<\/sub> = soma at\u00e9 o termo n<\/p>\n\n\n\n

a1<\/sub> = 1\u00ba termo<\/p>\n\n\n\n

an<\/sub> = “n-\u00e9simo” termos<\/p>\n\n\n\n

n = n\u00ba de termos<\/p>\n\n\n\n

Como o “n-\u00e9simo” termo de uma PA \u00e9 dado por:<\/p>\n\n\n\n

an<\/sub> = a1<\/sub> + (n – 1).r<\/p>\n\n\n\n

onde r = raz\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

Podemos colocar esse valor de an<\/sub> na f\u00f3rmula da soma:<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = (a1<\/sub> + an<\/sub>).n\/2<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = [a1<\/sub> + a1<\/sub> + (n – 1).r].n\/2<\/p>\n\n\n\n

E substituindo os valores, tal que essa soma seja menor que 1986:<\/p>\n\n\n\n

[a1<\/sub> + a1<\/sub> + (n – 1).r].n\/2 < 1986<\/p>\n\n\n\n

(2a1<\/sub> + n.r – r).n\/2 < 1986<\/p>\n\n\n\n

(2.1 + n.1 – 1).n\/2 < 1986<\/p>\n\n\n\n

(2 + n – 1).n\/2 < 1986<\/p>\n\n\n\n

(n + 1).n\/2 < 1986<\/p>\n\n\n\n

(n + 1).n < 3972<\/p>\n\n\n\n

n\u00b2 + n – 3972 < 0<\/p>\n\n\n\n

Usando a f\u00f3rmula de B\u00e1skara descobrimos o valor de n para o qual essa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 igual a zero:<\/p>\n\n\n\n

n = [-1 +- raiz(1 – 4.(-3972))]\/2<\/p>\n\n\n\n

n = [-1 +- raiz(1 + 15888)]\/2<\/p>\n\n\n\n

n = [-1 +- raiz(15889)]\/2, aproximando a raiz,<\/p>\n\n\n\n

n = [-1 +- 126]\/2<\/p>\n\n\n\n

n = -127\/2 ou n = 125\/2<\/p>\n\n\n\n

Como “n” \u00e9 o n\u00ba de p\u00e1ginas, s\u00f3 pode ser positivo, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

n = 62,5<\/p>\n\n\n\n

Isso quer dizer que para ele ir somando as p\u00e1ginas de 1 at\u00e9 “n” e essa soma dar 1986, ele teria que somar aproximadamente 62,5 p\u00e1ginas. Ent\u00e3o ele somou 62 p\u00e1ginas e o que est\u00e1 sobrando \u00e9 a p\u00e1gina que ele somou a mais. Ent\u00e3o vamos fazer a soma para 62 p\u00e1ginas:<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = (a1<\/sub> + an<\/sub>).n\/2<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = [a1<\/sub> + a1<\/sub> + (n – 1).r].n\/2<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = [1 + 1 + (62 – 1).1].62\/2<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = (2 + 61).62\/2<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = 63.31<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub> = 1953<\/p>\n\n\n\n

Como a soma dele deu 1986, a diferen\u00e7a \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

1986 – 1953 = 33<\/p>\n\n\n\n

Resposta: A p\u00e1gina somada a mais foi a de n\u00ba 33.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[27],"class_list":["post-446","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-progressao-aritmetica","tag-medio"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/446","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=446"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/446\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":447,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/446\/revisions\/447"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=446"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=446"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/cinoto.com.br\/matematica\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=446"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}